与えられた式 $4 \log_{10} \sqrt{150} - \log_{10} 54 + \log_{10} 24$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた式 $4 \log_{10} \sqrt{150} - \log_{10} 54 + \log_{10} 24$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{150}$ を簡単にします。

$\sqrt{150} = \sqrt{25 \cdot 6} = 5\sqrt{6}$

したがって、

$4 \log_{10} \sqrt{150} = 4 \log_{10} (5\sqrt{6})$

次に、対数の性質を利用して式を整理します。

$4 \log_{10} (5\sqrt{6}) - \log_{10} 54 + \log_{10} 24 = \log_{10} (5\sqrt{6})^4 - \log_{10} 54 + \log_{10} 24$

ここで、$(5\sqrt{6})^4 = 5^4 (\sqrt{6})^4 = 625 \cdot 36 = 22500$ であるから、

$\log_{10} (22500) - \log_{10} 54 + \log_{10} 24 = \log_{10} \frac{22500 \cdot 24}{54}$

$\frac{22500 \cdot 24}{54} = \frac{22500 \cdot 4}{9} = 2500 \cdot 4 = 10000$

したがって、

$\log_{10} 10000 = \log_{10} 10^4 = 4$

3. 最終的な答え

4