与えられた対数計算を簡略化して、値を求めます。 問題は次の通りです。 $2\log_{10} \frac{5}{3} - \log_{10} \frac{7}{4} + 2\log_{10} 3 + \frac{1}{2}\log_{10} 49$

1. 問題の内容

与えられた対数計算を簡略化して、値を求めます。

問題は次の通りです。

$2\log_{10} \frac{5}{3} - \log_{10} \frac{7}{4} + 2\log_{10} 3 + \frac{1}{2}\log_{10} 49$

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を使って式を整理します。

$a\log_b x = \log_b x^a$ を用いて、係数を対数の真数部分の指数に移動させます。

$\log_{10} (\frac{5}{3})^2 - \log_{10} \frac{7}{4} + \log_{10} 3^2 + \log_{10} 49^{\frac{1}{2}}$

$\log_{10} \frac{25}{9} - \log_{10} \frac{7}{4} + \log_{10} 9 + \log_{10} 7$

次に、対数の和と差を整理します。

$\log_b x + \log_b y = \log_b (xy)$

$\log_b x - \log_b y = \log_b (\frac{x}{y})$

を使って、対数をまとめます。

$\log_{10} (\frac{25}{9} \cdot \frac{9}{1} \cdot \frac{4}{7} \cdot 7)$

$\log_{10} (\frac{25 \cdot 9 \cdot 4 \cdot 7}{9 \cdot 7})$

$\log_{10} (25 \cdot 4)$

$\log_{10} 100$

最後に、$100 = 10^2$であるので、

$\log_{10} 10^2 = 2$

3. 最終的な答え

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