命題「$x \geq 2$ ならば $2|x-1| - x \geq 0$」の逆、裏、対偶を選択肢から選び、それぞれの真偽を判定する問題です。

1. 問題の内容

命題「$x \geq 2$ ならば $2|x-1| - x \geq 0$」の逆、裏、対偶を選択肢から選び、それぞれの真偽を判定する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた命題をP → Qとします。

P: $x \geq 2$

Q: $2|x-1| - x \geq 0$

(1) 逆: Q → P

$2|x-1| - x \geq 0$ ならば $x \geq 2$

選択肢の3番が該当します。

真偽を判定します。

$2|x-1| - x \geq 0$を満たす$x$は$x\geq2$を満たす必要があります。$x=0$のとき、$2|0-1| - 0 = 2 \geq 0$となり、$2|x-1| - x \geq 0$を満たしますが、$x \geq 2$を満たしません。したがって、逆は偽です。

(2) 裏: ¬P → ¬Q

$x < 2$ ならば $2|x-1| - x < 0$

選択肢の2番が該当します。

真偽を判定します。

$x < 2$のとき、$2|x-1| - x < 0$が常に成り立つかを考えます。$x=0$のとき、$2|0-1| - 0 = 2$となり、$2|x-1| - x \geq 0$となります。したがって、裏は偽です。

(3) 対偶: ¬Q → ¬P

$2|x-1| - x < 0$ ならば $x < 2$

選択肢の4番が該当します。

真偽を判定します。

対偶は元の命題の真偽と一致するので、まず元の命題の真偽を判定します。

$x \geq 2$のとき、$x-1 \geq 1$なので、$|x-1| = x-1$です。

したがって、$2|x-1| - x = 2(x-1) - x = 2x - 2 - x = x - 2$となります。

$x \geq 2$のとき、$x - 2 \geq 0$なので、$2|x-1| - x \geq 0$となります。

したがって、元の命題は真です。よって、対偶も真です。

3. 最終的な答え

逆: 3, 真偽: 2

裏: 2, 真偽: 2

対偶: 4, 真偽: 1