与えられた2変数多項式 $x^2 - xy - 2y^2 + x - 5y - 2$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた2変数多項式 $x^2 - xy - 2y^2 + x - 5y - 2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$x^2 + (-y+1)x + (-2y^2 - 5y - 2)$

次に、定数項 $-2y^2 - 5y - 2$ を因数分解します。

$-2y^2 - 5y - 2 = -(2y^2 + 5y + 2) = -(2y+1)(y+2) = (-2y-1)(y+2)$

$x^2 + (-y+1)x + (-2y-1)(y+2)$を因数分解できる形であると仮定します。

$(x+ay+b)(x+cy+d) = x^2 + (a+c)xy + (b+d)x + acy^2 + (ad+bc)y + bd$

ここで、$a+c=-1$, $ac=-2$, $b+d=1$, $ad+bc=-5$, $bd=-2$を満たす$a, b, c, d$を探します。

$a=-2, c=1$ とすると、$a+c = -2+1 = -1$, $ac = -2 \times 1 = -2$ となり、条件を満たします。

$ad+bc = -2d+b=-5$, $bd=-2$を満たす$b, d$を探します。

$b=1, d=-2$とすると、$bd = 1 \times -2 = -2$, $-2d+b = -2(-2)+1=4+1=5$となり、条件を満たしません。

$b=-1, d=2$とすると、$bd = -1 \times 2 = -2$, $-2d+b = -2(2)-1=-4-1=-5$となり、条件を満たします。

よって、

$(x - 2y - 1)(x + y + 2)$

3. 最終的な答え

$(x - 2y - 1)(x + y + 2)$