四面体 $OABC$ において、辺 $OA$ の中点を $P$、辺 $BC$ を $2:1$ に内分する点を $Q$、辺 $OC$ を $1:3$ に内分する点を $R$、辺 $AB$ を $s:(1-s)$ に内分する点を $S$ とする。ただし、$0 < s < 1$ とする。$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$、$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$、$\overrightarrow{OC} = \vec{c}$ とおく。 (1) $\overrightarrow{PQ}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ で表せ。 (2) $\overrightarrow{RS}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ および $s$ で表せ。 (3) 線分 $PQ$ と線分 $RS$ が交わるときの $s$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

四面体 $OABC$ において、辺 $OA$ の中点を $P$、辺 $BC$ を $2:1$ に内分する点を $Q$、辺 $OC$ を $1:3$ に内分する点を $R$、辺 $AB$ を $s:(1-s)$ に内分する点を $S$ とする。ただし、$0 < s < 1$ とする。$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$、$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$、$\overrightarrow{OC} = \vec{c}$ とおく。

(1) $\overrightarrow{PQ}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ で表せ。

(2) $\overrightarrow{RS}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ および $s$ で表せ。

(3) 線分 $PQ$ と線分 $RS$ が交わるときの $s$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{PQ}$ を求める。

$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OA} = \frac{1}{2}\vec{a}$

$\overrightarrow{OQ} = \frac{1\overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OC}}{2+1} = \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{c}$

$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{a} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{c}$

(2) $\overrightarrow{RS}$ を求める。

$\overrightarrow{OR} = \frac{1}{4}\overrightarrow{OC} = \frac{1}{4}\vec{c}$

$\overrightarrow{OS} = s\overrightarrow{OA} + (1-s)\overrightarrow{OB} = s\vec{a} + (1-s)\vec{b}$

$\overrightarrow{RS} = \overrightarrow{OS} - \overrightarrow{OR} = s\vec{a} + (1-s)\vec{b} - \frac{1}{4}\vec{c}$

(3) 線分 $PQ$ と線分 $RS$ が交わる条件を考える。

線分 $PQ$ 上の点を $K$ とすると、ある実数 $k$ を用いて

$\overrightarrow{OK} = \overrightarrow{OP} + k\overrightarrow{PQ} = \frac{1}{2}\vec{a} + k(-\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{c}) = (\frac{1}{2}-\frac{k}{2})\vec{a} + \frac{k}{3}\vec{b} + \frac{2k}{3}\vec{c}$

線分 $RS$ 上の点を $L$ とすると、ある実数 $l$ を用いて

$\overrightarrow{OL} = \overrightarrow{OR} + l\overrightarrow{RS} = \frac{1}{4}\vec{c} + l(s\vec{a} + (1-s)\vec{b} - \frac{1}{4}\vec{c}) = ls\vec{a} + l(1-s)\vec{b} + (\frac{1}{4}-\frac{l}{4})\vec{c}$

点 $K$ と点 $L$ が一致するとき、$\overrightarrow{OK} = \overrightarrow{OL}$ となるので、

$\frac{1}{2} - \frac{k}{2} = ls$

$\frac{k}{3} = l(1-s)$

$\frac{2k}{3} = \frac{1}{4} - \frac{l}{4}$

これらの式から $k$ と $l$ を消去する。

$1 = 2ls + k$

$k = 3l(1-s)$

$8k = 3 - 3l$

$k = \frac{3}{8} - \frac{3}{8}l$

$3l(1-s) = \frac{3}{8} - \frac{3}{8}l$

$l(1-s) = \frac{1}{8} - \frac{1}{8}l$

$l - ls = \frac{1}{8} - \frac{1}{8}l$

$l(1+\frac{1}{8}) = ls + \frac{1}{8}$

$\frac{9}{8}l = ls + \frac{1}{8}$

$9l = 8ls + 1$

$l = \frac{8ls + 1}{9}$

$1 = 2ls + \frac{3}{8} - \frac{3}{8}l$

$1 - \frac{3}{8} = 2ls - \frac{3}{8}l$

$\frac{5}{8} = 2ls - \frac{3}{8}l$

$5 = 16ls - 3l$

$l = \frac{5}{16s - 3}$

$\frac{5}{16s-3} = \frac{8ls + 1}{9}$

$\frac{5}{16s - 3} = \frac{8s\frac{5}{16s - 3} + 1}{9}$

$\frac{45}{16s - 3} = \frac{40s + 16s - 3}{16s - 3}$

$45 = 56s - 3$

$56s = 48$

$s = \frac{48}{56} = \frac{6}{7}$

$0 < s < 1$を満たすので、これが解。

3. 最終的な答え

$s = \frac{6}{7}$