平面ABC上の点Pが、与えられた条件 $\overrightarrow{PA} + 2\overrightarrow{PB} + k\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0}$ を満たすとき、 (1) $k = 3$ の場合と、(2) $k = -4$ の場合に、点Pがどの領域に存在するかを答える問題です。

1. 問題の内容

平面ABC上の点Pが、与えられた条件 $\overrightarrow{PA} + 2\overrightarrow{PB} + k\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0}$ を満たすとき、

(1) $k = 3$ の場合と、(2) $k = -4$ の場合に、点Pがどの領域に存在するかを答える問題です。

2. 解き方の手順

(1) $k = 3$ の場合：

$\overrightarrow{PA} + 2\overrightarrow{PB} + 3\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0}$ を変形して、$\overrightarrow{AP}$ の形にします。

$\overrightarrow{AP} = -\overrightarrow{PA} = 2\overrightarrow{PB} + 3\overrightarrow{PC} = 2(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AP}) + 3(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AP})$

$\overrightarrow{AP} = 2\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{AP} + 3\overrightarrow{AC} - 3\overrightarrow{AP}$

$6\overrightarrow{AP} = 2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AP} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AP} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ となりました。これは、$\overrightarrow{AP} = s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}$ の形であり、$s = \frac{1}{3}, t = \frac{1}{2}$ です。

$s > 0, t > 0$ なので、点Pは三角形ABCの内部、または辺AB, AC上、もしくはそれらの延長線上にあります。$s + t = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6} < 1$ であるため、点Pは三角形ABCの内部にあることがわかります。したがって、領域は①です。

(2) $k = -4$ の場合：

$\overrightarrow{PA} + 2\overrightarrow{PB} - 4\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0}$ を変形して、$\overrightarrow{AP}$ の形にします。

$\overrightarrow{AP} = -\overrightarrow{PA} = 2\overrightarrow{PB} - 4\overrightarrow{PC} = 2(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AP}) - 4(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AP})$

$\overrightarrow{AP} = 2\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{AP} - 4\overrightarrow{AC} + 4\overrightarrow{AP}$

$-\overrightarrow{AP} = 2\overrightarrow{AB} - 4\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AP} = -2\overrightarrow{AB} + 4\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AP} = -2\overrightarrow{AB} + 4\overrightarrow{AC}$ となりました。これは、$\overrightarrow{AP} = s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}$ の形であり、$s = -2, t = 4$ です。

$s < 0, t > 0$ なので、点Pは直線ABに関してCと反対側にあり、直線ACに関してBと同じ側にあります。

これは領域⑥になります。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{5} = \frac{1}{3}$, $\frac{1}{6} = \frac{1}{2}$, ⑦ = ①

(2) $\frac{8}{} = -2$, $\frac{9}{} = 4$, ⑩ = ⑥