2つのベクトル $\vec{a} = (-1, -1, 0)$ と $\vec{b} = (1, 2, 2)$ が与えられている。実数 $t$ に対して、$\vec{x} = (1-t)\vec{a} + t\vec{b}$ と定義する。$\vec{a}$ と $\vec{x}$ のなす角が $45^\circ$ となるような $t$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2つのベクトル $\vec{a} = (-1, -1, 0)$ と $\vec{b} = (1, 2, 2)$ が与えられている。実数 $t$ に対して、$\vec{x} = (1-t)\vec{a} + t\vec{b}$ と定義する。$\vec{a}$ と $\vec{x}$ のなす角が $45^\circ$ となるような $t$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\vec{x}$ を成分表示する。

$\vec{x} = (1-t)\vec{a} + t\vec{b} = (1-t)(-1, -1, 0) + t(1, 2, 2) = (-1+t, -1+t, 0) + (t, 2t, 2t) = (-1+2t, -1+3t, 2t)$

$\vec{a}$ と $\vec{x}$ のなす角が $45^\circ$ であることから、

$\cos 45^\circ = \frac{\vec{a} \cdot \vec{x}}{|\vec{a}| |\vec{x}|}$

$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{x}}{|\vec{a}| |\vec{x}|}$

$\vec{a} \cdot \vec{x} = (-1)(-1+2t) + (-1)(-1+3t) + (0)(2t) = 1-2t + 1-3t = 2-5t$

$|\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1+1+0} = \sqrt{2}$

$|\vec{x}| = \sqrt{(-1+2t)^2 + (-1+3t)^2 + (2t)^2} = \sqrt{1-4t+4t^2 + 1-6t+9t^2 + 4t^2} = \sqrt{17t^2 - 10t + 2}$

したがって、

$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2-5t}{\sqrt{2} \sqrt{17t^2 - 10t + 2}}$

$\sqrt{17t^2 - 10t + 2} = 2-5t$

両辺を2乗して、

$17t^2 - 10t + 2 = (2-5t)^2 = 4 - 20t + 25t^2$

$8t^2 - 10t + 2 = 0$

$4t^2 - 5t + 1 = 0$

$(4t-1)(t-1) = 0$

$t = \frac{1}{4}, 1$

$t=\frac{1}{4}$ のとき、$2-5t = 2 - \frac{5}{4} = \frac{3}{4} > 0$ なので問題ない。

$t=1$ のとき、$2-5t = 2-5 = -3 < 0$ となる。

しかし、$\sqrt{17t^2 - 10t + 2} = \sqrt{17 - 10 + 2} = \sqrt{9} = 3 > 0$ なので、これは解ではない。

$t = \frac{1}{4}$ の場合、$\sqrt{17(\frac{1}{16}) - 10(\frac{1}{4}) + 2} = \sqrt{\frac{17}{16} - \frac{40}{16} + \frac{32}{16}} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$

$2-5t = 2 - \frac{5}{4} = \frac{3}{4}$

よって、$t = \frac{1}{4}$ は解である。

3. 最終的な答え

$t = \frac{1}{4}$