中心が原点 O、半径が r の円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上の点を P($x_1, y_1$) とする。ただし、点 P は第 2 象限にある。 (1) 円 O の点 P における接線の傾きを $x_1, y_1$ を用いて表せ。 (2) 円 O の点 P における接線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

中心が原点 O、半径が r の円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上の点を P($x_1, y_1$) とする。ただし、点 P は第 2 象限にある。

(1) 円 O の点 P における接線の傾きを $x_1, y_1$ を用いて表せ。

(2) 円 O の点 P における接線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上の点 P($x_1, y_1$) における接線の方程式は、接線の公式より、

$x_1 x + y_1 y = r^2$

と表せる。

この式を y について解くと、

$y_1 y = -x_1 x + r^2$

$y = -\frac{x_1}{y_1} x + \frac{r^2}{y_1}$

この直線の傾きは $-\frac{x_1}{y_1}$ となる。

点 P は第 2 象限にあるので、$x_1 < 0, y_1 > 0$ である。

(2) (1) で求めた傾き $-\frac{x_1}{y_1}$ と点 P($x_1, y_1$) を用いて、接線の方程式を求める。

$y - y_1 = -\frac{x_1}{y_1} (x - x_1)$

$y_1(y - y_1) = -x_1(x - x_1)$

$y_1 y - y_1^2 = -x_1 x + x_1^2$

$x_1 x + y_1 y = x_1^2 + y_1^2$

点 P($x_1, y_1$) は円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上の点なので、$x_1^2 + y_1^2 = r^2$ である。

したがって、

$x_1 x + y_1 y = r^2$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{x_1}{y_1}$

(2) $x_1 x + y_1 y = r^2$