## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

問題23: $x = 1 + \sqrt{7}$ のとき、$x^4 + 2x^3 - 12x^2 - 26x - 14$ の値を求めよ。

問題24: $x = 3 + 2\sqrt{2}$、 $y = 3 - 2\sqrt{2}$ のとき、$\frac{y}{x^2} + \frac{x}{y^2}$ の値を求めよ。

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2. 解き方の手順

### 問題23

1. $x = 1 + \sqrt{7}$ を変形して $\sqrt{7} = x - 1$ を得る。

2. 両辺を2乗して $7 = (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$ となる。

3. $x^2 - 2x - 6 = 0$ を得る。

4. 与えられた式を $x^2 - 2x - 6$ で割ることを考える。

5. $x^4 + 2x^3 - 12x^2 - 26x - 14$ を $x^2 - 2x - 6$ で割る。

商は $x^2 + 4x + 2$、余りは $0$ となる。

つまり、

$x^4 + 2x^3 - 12x^2 - 26x - 14 = (x^2 - 2x - 6)(x^2 + 4x + 2)$.

6. $x^2 - 2x - 6 = 0$ であるから、与えられた式の値は $0$ となる。

### 問題24

1. $\frac{y}{x^2} + \frac{x}{y^2}$ を通分して、$\frac{y^3 + x^3}{x^2y^2}$ を得る。

2. $x + y$ と $xy$ を計算する。

$x + y = (3 + 2\sqrt{2}) + (3 - 2\sqrt{2}) = 6$

$xy = (3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2}) = 3^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - 8 = 1$

3. $x^3 + y^3$ を $(x+y)^3 - 3xy(x+y)$ で計算する。

$x^3 + y^3 = (6)^3 - 3(1)(6) = 216 - 18 = 198$

4. $\frac{y^3 + x^3}{x^2y^2} = \frac{198}{(1)^2} = 198$

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3. 最終的な答え

問題23: 0

問題24: 198