問題8：$\theta$の動径が第4象限にあり、$sin\theta = -\frac{1}{3}$のとき、$cos\theta$、$tan\theta$の値を求めよ。 問題9：$\theta$の動径が第3象限にあり、$tan\theta = 2$のとき、$sin\theta$、$cos\theta$の値を求めよ。

はい、承知いたしました。問題8と9を解きます。

1. 問題の内容

問題8：$\theta$の動径が第4象限にあり、$sin\theta = -\frac{1}{3}$のとき、$cos\theta$、$tan\theta$の値を求めよ。

問題9：$\theta$の動径が第3象限にあり、$tan\theta = 2$のとき、$sin\theta$、$cos\theta$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

問題8：

まず、$sin^2\theta + cos^2\theta = 1$という三角関数の基本公式を使います。

$sin\theta = -\frac{1}{3}$を代入すると、

$(-\frac{1}{3})^2 + cos^2\theta = 1$

$\frac{1}{9} + cos^2\theta = 1$

$cos^2\theta = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$cos\theta = \pm\sqrt{\frac{8}{9}} = \pm\frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\theta$は第4象限にあるので、$cos\theta$は正の値をとります。したがって、

$cos\theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

次に、$tan\theta = \frac{sin\theta}{cos\theta}$を使って、$tan\theta$を求めます。

$tan\theta = \frac{-\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$

問題9：

$tan\theta = 2$なので、$sin\theta = 2cos\theta$

これを$sin^2\theta + cos^2\theta = 1$に代入すると、

$(2cos\theta)^2 + cos^2\theta = 1$

$4cos^2\theta + cos^2\theta = 1$

$5cos^2\theta = 1$

$cos^2\theta = \frac{1}{5}$

$cos\theta = \pm\sqrt{\frac{1}{5}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{5}$

$\theta$は第3象限にあるので、$cos\theta$は負の値をとります。したがって、

$cos\theta = -\frac{\sqrt{5}}{5}$

$sin\theta = 2cos\theta$より、

$sin\theta = 2(-\frac{\sqrt{5}}{5}) = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

3. 最終的な答え

問題8：

$cos\theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$tan\theta = -\frac{\sqrt{2}}{4}$

問題9：

$sin\theta = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

$cos\theta = -\frac{\sqrt{5}}{5}$