$x = 1 + \sqrt{7}$ のとき、$x^4 + 2x^3 - 12x^2 - 26x - 14$ の値を求めます。

## 問題23

1. 問題の内容

$x = 1 + \sqrt{7}$ のとき、$x^4 + 2x^3 - 12x^2 - 26x - 14$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$x = 1 + \sqrt{7}$ から $\sqrt{7} = x - 1$ とします。両辺を2乗して、

$7 = (x - 1)^2$

$7 = x^2 - 2x + 1$

$x^2 - 2x - 6 = 0$

次に、$x^4 + 2x^3 - 12x^2 - 26x - 14$ を $x^2 - 2x - 6$ で割ります。

```

x^2 + 4x + 2

x^2-2x-6 | x^4 + 2x^3 - 12x^2 - 26x - 14

x^4 - 2x^3 - 6x^2

--------------------

4x^3 - 6x^2 - 26x

4x^3 - 8x^2 - 24x

--------------------

2x^2 - 2x - 14

2x^2 - 4x - 12

--------------------

2x - 2

```

したがって、$x^4 + 2x^3 - 12x^2 - 26x - 14 = (x^2 - 2x - 6)(x^2 + 4x + 2) + 2x - 2$ となります。

ここで、$x^2 - 2x - 6 = 0$ なので、

$x^4 + 2x^3 - 12x^2 - 26x - 14 = 0 \cdot (x^2 + 4x + 2) + 2x - 2 = 2x - 2$

$x = 1 + \sqrt{7}$ を代入すると、

$2x - 2 = 2(1 + \sqrt{7}) - 2 = 2 + 2\sqrt{7} - 2 = 2\sqrt{7}$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{7}$

## 問題24

1. 問題の内容

$x = 3 + 2\sqrt{2}$, $y = 3 - 2\sqrt{2}$ のとき、$\frac{y}{x^2} + \frac{x}{y^2}$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を通分します。

$\frac{y}{x^2} + \frac{x}{y^2} = \frac{y^3 + x^3}{x^2 y^2} = \frac{(x+y)(x^2 - xy + y^2)}{(xy)^2}$

$x + y = (3 + 2\sqrt{2}) + (3 - 2\sqrt{2}) = 6$

$xy = (3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2}) = 3^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - 8 = 1$

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 6^2 - 2(1) = 36 - 2 = 34$

$x^2 - xy + y^2 = (x^2 + y^2) - xy = 34 - 1 = 33$

したがって、

$\frac{y^3 + x^3}{x^2 y^2} = \frac{(x+y)(x^2 - xy + y^2)}{(xy)^2} = \frac{(6)(33)}{1^2} = 6 \times 33 = 198$

3. 最終的な答え

198