2次方程式が重解を持つように、定数 $m$ の値を定め、そのときの重解を求めよ。具体的な2次方程式は問題文には書かれていませんが、手書きのメモに $m = -\frac{9}{16}$、重解 $x = -\frac{3}{4}$ と書かれています。おそらく、元の問題文は $4x^2 + 3x + m = 0$ のような形をしていると推測できます。以下では、この推測に基づいて問題を解きます。

1. 問題の内容

2次方程式が重解を持つように、定数 $m$ の値を定め、そのときの重解を求めよ。具体的な2次方程式は問題文には書かれていませんが、手書きのメモに $m = -\frac{9}{16}$、重解 $x = -\frac{3}{4}$ と書かれています。おそらく、元の問題文は

$4x^2 + 3x + m = 0$

のような形をしていると推測できます。以下では、この推測に基づいて問題を解きます。

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ が重解を持つための条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac = 0$ となることです。

この問題では、2次方程式を $4x^2 + 3x + m = 0$ と仮定しました。したがって、$a = 4$, $b = 3$, $c = m$ です。判別式は

$D = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot m = 9 - 16m$

重解を持つためには $D = 0$ である必要があるので、

$9 - 16m = 0$

$16m = 9$

$m = \frac{9}{16}$

次に、重解を求めます。重解は、$x = -\frac{b}{2a}$ で求められます。

$x = -\frac{3}{2 \cdot 4} = -\frac{3}{8}$

3. 最終的な答え

$m = \frac{9}{16}$

重解 $x = -\frac{3}{8}$

**注意**: 最初に $m = -\frac{9}{16}$、重解 $x = -\frac{3}{4}$ と書かれていることから、元々の2次方程式は

$4x^2 + 3x - m = 0$

の可能性もあります。この場合、判別式は

$D = 3^2 - 4(4)(-m) = 9 + 16m$

$9 + 16m = 0$

$16m = -9$

$m = -\frac{9}{16}$

重解は $x = -\frac{3}{8}$ となり、手書きの答えとは異なります。重解 $x=-\frac{3}{4}$ になるためには、

$ax^2+bx+m=0$

の形で

$4x^2 + 6x + m = 0$

で、

$D = 6^2 - 4(4)m = 36 - 16m = 0$

$16m = 36$

$m = \frac{36}{16} = \frac{9}{4}$

重解 $x = -\frac{6}{2(4)} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}$

手書きの答えに合うように問題文を推定すると、

$4x^2 + 6x + \frac{9}{4} = 0$

となり、$m = \frac{9}{4}$、重解 $x = -\frac{3}{4}$ が正解となります。

もし、2次方程式の形が

$16x^2 + 24x + m = 0$

であれば、

$D = 24^2 - 4(16)m = 576 - 64m = 0$

$64m = 576$

$m = \frac{576}{64} = 9$

重解は

$x = -\frac{24}{2(16)} = -\frac{24}{32} = -\frac{3}{4}$

となります。

もし、2次方程式の形が

$16x^2 + 12x + m = 0$

であれば、

$D = 12^2 - 4(16)m = 144 - 64m = 0$

$64m = 144$

$m = \frac{144}{64} = \frac{9}{4}$

重解は

$x = -\frac{12}{2(16)} = -\frac{12}{32} = -\frac{3}{8}$

となります。

元の問題文がないため、手書きのメモにある

$m = -\frac{9}{16}$、重解 $x = -\frac{3}{4}$

になるように、以下の問題と解答にします。

**問題**: $16x^2 + 12x - m = 0$ が重解をもつように定数 $m$ の値を定めよ。またそのときの重解を求めよ。

**解き方**:

判別式 $D = 12^2 - 4(16)(-m) = 144 + 64m = 0$ となるように $m$ の値を定めます。

$64m = -144$

$m = -\frac{144}{64} = -\frac{9}{4}$

重解 $x = -\frac{12}{2(16)} = -\frac{12}{32} = -\frac{3}{8}$

重解 $x = - \frac{b}{2a} = - \frac{12}{32} = - \frac{3}{8} \neq - \frac{3}{4}$

したがって、問題が間違っているか、メモが間違っている可能性があります。

$16x^2+24x+9=0$ であれば

$(4x+3)^2=0$となり、重解$x = -\frac{3}{4}$を持ちます。この時、$m = 9$ です。

手書きのメモが正しいと仮定すると、元の二次方程式は

$16x^2 + 24x + m = 0$

で、重解 $x = -\frac{3}{4}$ を持つとき、

$m = 9$ です。

手書きのメモが $m=-\frac{9}{16}$、重解$x = -\frac{3}{4}$ となっている理由は不明です。問題文が間違っている可能性があります。

**最終的な答え (手書きのメモに合うように解釈した場合)**

二次方程式を $ax^2 + bx + m = 0$ とします。

$m = - \frac{9}{16}$、重解 $x = - \frac{3}{4}$

重解 $x = - \frac{b}{2a} = - \frac{3}{4}$ より、 $b = \frac{3}{2}a$

判別式 $D = b^2 - 4am = 0$

$(\frac{3}{2} a)^2 - 4am = 0$

$\frac{9}{4} a^2 - 4am = 0$

$a(\frac{9}{4} a - 4m) = 0$

$a \neq 0$ より

$\frac{9}{4}a - 4m = 0$

$\frac{9}{4} a = 4m$

$a = \frac{16}{9}m = \frac{16}{9} (-\frac{9}{16}) = -1$

$b = \frac{3}{2}a = \frac{3}{2} (-1) = -\frac{3}{2}$

二次方程式は $-x^2 - \frac{3}{2}x - \frac{9}{16} = 0$

$-16x^2 - 24x - 9 = 0$

$16x^2 + 24x + 9 = 0$

$(4x+3)^2 = 0$

$x = - \frac{3}{4}$