放物線 $y = 2x^2 - 3x$ と直線 $y = 5x + k$ が共有点を持つような定数 $k$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

放物線 $y = 2x^2 - 3x$ と直線 $y = 5x + k$ が共有点を持つような定数 $k$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

放物線と直線が共有点を持つということは、それらの式を連立させて得られる2次方程式が実数解を持つということです。つまり、判別式 $D$ が $D \ge 0$ である必要があります。

まず、2つの式を連立させます。

$2x^2 - 3x = 5x + k$

この式を整理して、2次方程式の形にします。

$2x^2 - 8x - k = 0$

この2次方程式の判別式 $D$ は次のようになります。

$D = (-8)^2 - 4(2)(-k) = 64 + 8k$

共有点を持つためには、$D \ge 0$ である必要があります。

$64 + 8k \ge 0$

$8k \ge -64$

$k \ge -8$

3. 最終的な答え

$k \ge -8$