与えられた式 $d = \sqrt{\left(\frac{b^2x_0-aby_0-ac}{a^2+b^2}-x_0\right)^2 + \left(\frac{-abx_0+a^2y_0-bc}{a^2+b^2}-y_0\right)^2}$ を計算せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $d = \sqrt{\left(\frac{b^2x_0-aby_0-ac}{a^2+b^2}-x_0\right)^2 + \left(\frac{-abx_0+a^2y_0-bc}{a^2+b^2}-y_0\right)^2}$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、ルートの中身のそれぞれの項を計算する。

第1項:

$\frac{b^2x_0-aby_0-ac}{a^2+b^2}-x_0 = \frac{b^2x_0-aby_0-ac - x_0(a^2+b^2)}{a^2+b^2} = \frac{b^2x_0-aby_0-ac - a^2x_0-b^2x_0}{a^2+b^2} = \frac{-a^2x_0-aby_0-ac}{a^2+b^2} = \frac{-a(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2}$

第2項:

$\frac{-abx_0+a^2y_0-bc}{a^2+b^2}-y_0 = \frac{-abx_0+a^2y_0-bc - y_0(a^2+b^2)}{a^2+b^2} = \frac{-abx_0+a^2y_0-bc - a^2y_0-b^2y_0}{a^2+b^2} = \frac{-abx_0-b^2y_0-bc}{a^2+b^2} = \frac{-b(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2}$

これらの項をそれぞれ2乗する:

第1項の2乗: $\left(\frac{-a(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2}\right)^2 = \frac{a^2(ax_0+by_0+c)^2}{(a^2+b^2)^2}$

第2項の2乗: $\left(\frac{-b(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2}\right)^2 = \frac{b^2(ax_0+by_0+c)^2}{(a^2+b^2)^2}$

これらの2乗した項を足し合わせる:

$\frac{a^2(ax_0+by_0+c)^2}{(a^2+b^2)^2} + \frac{b^2(ax_0+by_0+c)^2}{(a^2+b^2)^2} = \frac{(a^2+b^2)(ax_0+by_0+c)^2}{(a^2+b^2)^2} = \frac{(ax_0+by_0+c)^2}{a^2+b^2}$

最後に、ルートを取る:

$d = \sqrt{\frac{(ax_0+by_0+c)^2}{a^2+b^2}} = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

3. 最終的な答え

$d = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$