$x, y, z$ が $\frac{x+y}{3} = \frac{y+z}{6} = \frac{z+x}{7} \neq 0$ を満たすとき、$\frac{x^3+y^3+z^3}{(x-y)(y-z)(z-x)}$ の値を求める。

1. 問題の内容

$x, y, z$ が $\frac{x+y}{3} = \frac{y+z}{6} = \frac{z+x}{7} \neq 0$ を満たすとき、$\frac{x^3+y^3+z^3}{(x-y)(y-z)(z-x)}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた条件から、

$\frac{x+y}{3} = \frac{y+z}{6} = \frac{z+x}{7} = k \neq 0$とおく。すると、以下の式が成り立つ。

$x+y = 3k$ (1)

$y+z = 6k$ (2)

$z+x = 7k$ (3)

(1) + (2) + (3) より、

$2(x+y+z) = 16k$

$x+y+z = 8k$ (4)

(4) - (2) より、$x = 2k$

(4) - (3) より、$y = k$

(4) - (1) より、$z = 5k$

したがって、$x=2k$, $y=k$, $z=5k$ となる。 これらを $\frac{x^3+y^3+z^3}{(x-y)(y-z)(z-x)}$ に代入する。

$\frac{x^3+y^3+z^3}{(x-y)(y-z)(z-x)} = \frac{(2k)^3+(k)^3+(5k)^3}{(2k-k)(k-5k)(5k-2k)}$

$= \frac{8k^3+k^3+125k^3}{(k)(-4k)(3k)} = \frac{134k^3}{-12k^3} = -\frac{134}{12} = -\frac{67}{6}$

3. 最終的な答え

$-\frac{67}{6}$