(1) $(x^2 + \frac{2}{x^3})^{10}$ の展開式における $x^5$ の係数を求める。 (2) $(x + y - 3z)^8$ の展開式における $x^5yz^2$ の係数を求める。

はい、承知いたしました。以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

(1) $(x^2 + \frac{2}{x^3})^{10}$ の展開式における $x^5$ の係数を求める。

(2) $(x + y - 3z)^8$ の展開式における $x^5yz^2$ の係数を求める。

2. 解き方の手順

(1)

二項定理より、$(x^2 + \frac{2}{x^3})^{10}$の展開式の一般項は、

$_{10}C_r (x^2)^{10-r} (\frac{2}{x^3})^r = _{10}C_r x^{20-2r} 2^r x^{-3r} = _{10}C_r 2^r x^{20-5r}$

$x^5$の係数を求めたいので、

$20 - 5r = 5$

$5r = 15$

$r = 3$

したがって、$x^5$の係数は、

$_{10}C_3 2^3 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 8 = 10 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 8 = 120 \cdot 8 = 960$

(2)

多項定理より、$(x + y - 3z)^8$ の展開式の一般項は、

$\frac{8!}{p!q!r!} x^p y^q (-3z)^r = \frac{8!}{p!q!r!} (-3)^r x^p y^q z^r$

ただし、$p+q+r = 8$

$x^5yz^2$の係数を求めたいので、$p=5, q=1, r=2$を代入すると、

$\frac{8!}{5!1!2!} (-3)^2 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{2 \cdot 1} \cdot 9 = 8 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 9 = 56 \cdot 27 = 1512$

3. 最終的な答え

(1) $960$

(2) $1512$