次の連立不等式を解きます。 $ \begin{cases} 2x^2 - 3x - 1 \geq 0 \\ -x^2 + 4 > 0 \end{cases} $

1. 問題の内容

次の連立不等式を解きます。

$$

\begin{cases}

2x^2 - 3x - 1 \geq 0 \\

-x^2 + 4 > 0

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

まず、$2x^2 - 3x - 1 \geq 0$ を解きます。

解の公式を用いると、

$$

x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}

$$

したがって、$2x^2 - 3x - 1 \geq 0$ の解は、

$$

x \leq \frac{3 - \sqrt{17}}{4}, \frac{3 + \sqrt{17}}{4} \leq x

$$

次に、$-x^2 + 4 > 0$ を解きます。

$-x^2 + 4 > 0 \iff x^2 - 4 < 0 \iff (x - 2)(x + 2) < 0$

したがって、$-x^2 + 4 > 0$ の解は、$-2 < x < 2$

$\frac{3 - \sqrt{17}}{4} \approx \frac{3 - 4.12}{4} \approx -0.28$

$\frac{3 + \sqrt{17}}{4} \approx \frac{3 + 4.12}{4} \approx 1.78$

連立不等式の解は、

$$

-2 < x \leq \frac{3 - \sqrt{17}}{4}, \frac{3 + \sqrt{17}}{4} \leq x < 2

$$

3. 最終的な答え

$-2 < x \leq \frac{3 - \sqrt{17}}{4}, \frac{3 + \sqrt{17}}{4} \leq x < 2$