正七角形の3つの頂点を結んで三角形を作るとき、以下の個数を求める。 (ア) 正七角形と2辺を共有する三角形の個数 (イ) 正七角形と辺を共有しない三角形の個数

1. 問題の内容

正七角形の3つの頂点を結んで三角形を作るとき、以下の個数を求める。

(ア) 正七角形と2辺を共有する三角形の個数

(イ) 正七角形と辺を共有しない三角形の個数

2. 解き方の手順

(ア) 正七角形と2辺を共有する三角形の個数

正七角形において、2辺を共有する三角形は、隣り合う2つの辺を選び、それらに隣接する頂点を選んで三角形を作れば良い。正七角形には7つの頂点があるので、そのような三角形は7個存在する。

(イ) 正七角形と辺を共有しない三角形の個数

まず、正七角形の3つの頂点を選んでできる三角形の総数を計算する。これは、7つの頂点から3つを選ぶ組み合わせなので、$_7C_3$ である。

$_7C_3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

次に、正七角形と1辺だけを共有する三角形の個数を計算する。1つの辺を共有する三角形の作り方としては、共有する辺を選び、残りの1つの頂点を共有する辺に隣り合わない4つの頂点から選べば良い。辺は7つあるので、共有する1辺の選び方は7通り。残りの頂点の選び方は4通り。よって、そのような三角形は $7 \times 4 = 28$ 個存在する。ただし、これは1辺を共有するもの。

正七角形と2辺を共有する三角形は(ア)で計算したように7個ある。

正七角形と辺を共有する三角形は、1辺を共有するものと2辺を共有するものの合計である。

求める個数は、三角形の総数から、辺を共有する三角形の個数を引けばよい。

辺を共有する三角形の個数は、1辺のみを共有するものと2辺を共有するものの和で計算する。

しかし、1辺のみ共有する場合の計算で、辺を共有しない三角形を引く計算ができていない。

1辺を共有する三角形の場合、頂点の選び方は4通りある。

辺を共有しない三角形は、三角形の総数から、1辺を共有するもの、2辺を共有するものを引けば良い。

したがって、

$35 - 28 - 7 = 0$

では別の方法で計算する。

正七角形の頂点に1から7までの番号を振る。辺を共有しないということは、選んだ3つの頂点の番号が連続していないということである。

3つの頂点の番号を $a, b, c$ とし、 $1 \leq a < b < c \leq 7$ とする。

$b \neq a+1, c \neq b+1, c \neq a+6$ を満たすものを数えれば良い。

$a'=a, b' = b-1, c' = c-2$ とおくと、$1 \leq a' < b' < c' \leq 5$

これは $_5C_3 = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$

これが答えである。

3. 最終的な答え

(ア) 7個

(イ) 10個