4次式 $x^4 - x^2 - 6$ を、次の範囲で因数分解する。 (1) 有理数 (2) 実数 (3) 複素数

1. 問題の内容

4次式 $x^4 - x^2 - 6$ を、次の範囲で因数分解する。

(1) 有理数

(2) 実数

(3) 複素数

2. 解き方の手順

まず、$x^4 - x^2 - 6$ を因数分解する。$y = x^2$ とおくと、

$y^2 - y - 6 = (y - 3)(y + 2)$

したがって、

$x^4 - x^2 - 6 = (x^2 - 3)(x^2 + 2)$

(1) 有理数の範囲での因数分解

$x^2 - 3$ は有理数の範囲では因数分解できないので、$x^2 + 2$ も同様である。

したがって、有理数の範囲では $(x^2 - 3)(x^2 + 2)$ が答えとなる。

(2) 実数の範囲での因数分解

$x^2 - 3 = (x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})$ と因数分解できる。

一方、$x^2 + 2 = 0$ の解は $x = \pm \sqrt{-2} = \pm i\sqrt{2}$ となり、実数ではないので、$x^2 + 2$ は実数の範囲では因数分解できない。

したがって、実数の範囲では $(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})(x^2 + 2)$ が答えとなる。

(3) 複素数の範囲での因数分解

$x^2 + 2 = (x - i\sqrt{2})(x + i\sqrt{2})$ と因数分解できる。

したがって、複素数の範囲では $(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})(x - i\sqrt{2})(x + i\sqrt{2})$ が答えとなる。

3. 最終的な答え

(1) 有理数：$(x^2 - 3)(x^2 + 2)$

(2) 実数：$(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})(x^2 + 2)$

(3) 複素数：$(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})(x - i\sqrt{2})(x + i\sqrt{2})$