2次方程式 $4x^2 + 3x - m = 0$ について、以下の問いに答える問題です。 (ア) 異なる2つの実数解をもつように、定数 $m$ の値の範囲を定める。 (イ) 重解をもつように、定数 $m$ の値を定め、そのときの重解を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $4x^2 + 3x - m = 0$ について、以下の問いに答える問題です。

(ア) 異なる2つの実数解をもつように、定数 $m$ の値の範囲を定める。

(イ) 重解をもつように、定数 $m$ の値を定め、そのときの重解を求める。

2. 解き方の手順

(ア) 異なる2つの実数解をもつ条件は、判別式 $D > 0$ となることです。

判別式 $D$ は、$D = b^2 - 4ac$ で与えられます。この問題では、$a = 4$, $b = 3$, $c = -m$ なので、

$D = 3^2 - 4(4)(-m) = 9 + 16m$

したがって、$9 + 16m > 0$ を解きます。

(イ) 重解をもつ条件は、判別式 $D = 0$ となることです。

したがって、$9 + 16m = 0$ を解いて、$m$ の値を求めます。

重解は、$x = \frac{-b}{2a}$ で与えられます。求めた $m$ の値を使って重解を計算します。

3. 最終的な答え

(ア)

$9 + 16m > 0$

$16m > -9$

$m > -\frac{9}{16}$

(イ)

$9 + 16m = 0$

$16m = -9$

$m = -\frac{9}{16}$

このときの重解は、

$x = \frac{-3}{2(4)} = -\frac{3}{8}$

(ア) $m > -\frac{9}{16}$

(イ) $m = -\frac{9}{16}$, 重解 $x = -\frac{3}{8}$