$\theta$ の動径が第3象限にあり、$\tan \theta = 2$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\theta$ の動径が第3象限にあり、$\tan \theta = 2$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の基本的な関係式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ と $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を利用します。

$\tan \theta = 2$ より、$\sin \theta = 2 \cos \theta$ となります。

これを $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ に代入すると、

$(2 \cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$

$4 \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$5 \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{5}$

$\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\theta$ は第3象限にあるので、$\cos \theta < 0$ です。したがって、

$\cos \theta = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\sin \theta = 2 \cos \theta$ なので、

$\sin \theta = 2 \left( - \frac{\sqrt{5}}{5} \right) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

$\cos \theta = - \frac{\sqrt{5}}{5}$