正三角形ABCの辺BC上に点Dをとり、正三角形ADEをつくる。点CとEを結ぶ。このとき、以下の2つの問いに答える。 (1) $AB // EC$ となることを証明する。 (2) $CE = AC - DC$ となることを証明する。

1. 問題の内容

正三角形ABCの辺BC上に点Dをとり、正三角形ADEをつくる。点CとEを結ぶ。このとき、以下の2つの問いに答える。

(1) $AB // EC$ となることを証明する。

(2) $CE = AC - DC$ となることを証明する。

2. 解き方の手順

(1) $AB // EC$ の証明

* $\triangle ABD$ と $\triangle ACE$ において、

* $AB = AC$ (正三角形ABCの辺)

* $AD = AE$ (正三角形ADEの辺)

* $\angle BAD = \angle BAC - \angle DAC$

* $\angle CAE = \angle DAE - \angle DAC = 60^\circ - \angle DAC$

* $\angle BAC = \angle DAE = 60^\circ$ より、$\angle BAD = \angle CAE$

* よって、2辺とその間の角がそれぞれ等しいので、$\triangle ABD \equiv \triangle ACE$

* したがって、$\angle ABD = \angle ACE$

* $\angle ABD = 60^\circ$ (正三角形ABCの内角) より、$\angle ACE = 60^\circ$

* $\angle ACB = 60^\circ$ (正三角形ABCの内角) なので、$\angle BCE = \angle ACB + \angle ACE = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$

* 一方、$\angle ABC = 60^\circ$

* したがって、同位角が等しいので、$AB // EC$

(2) $CE = AC - DC$ の証明

* $\triangle ABD \equiv \triangle ACE$ より、$BD = CE$

* $BC = BD + DC$

* $AC = BC$ (正三角形ABCの辺)

* よって、$AC = BD + DC$

* $BD = AC - DC$

* $CE = BD$ より、$CE = AC - DC$

3. 最終的な答え

(1) $AB // EC$

(2) $CE = AC - DC$