$a = (2+\sqrt{5})^2$、 $b=(2-\sqrt{5})^2$ とするとき、以下の問題を解きます。 (i) $a+b$ の値を求める。 (ii) $x^2y+xy^2-5xy+2x+2y-10$ を因数分解する。 (iii) $a^2b+ab^2-5ab+2a+2b-10$ の値を求める。

1. 問題の内容

$a = (2+\sqrt{5})^2$、 $b=(2-\sqrt{5})^2$ とするとき、以下の問題を解きます。

(i) $a+b$ の値を求める。

(ii) $x^2y+xy^2-5xy+2x+2y-10$ を因数分解する。

(iii) $a^2b+ab^2-5ab+2a+2b-10$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(i) $a$ と $b$ の値をそれぞれ計算し、$a+b$ を求めます。

$a = (2+\sqrt{5})^2 = 4 + 4\sqrt{5} + 5 = 9 + 4\sqrt{5}$

$b = (2-\sqrt{5})^2 = 4 - 4\sqrt{5} + 5 = 9 - 4\sqrt{5}$

$a+b = (9 + 4\sqrt{5}) + (9 - 4\sqrt{5}) = 18$

(ii) $x^2y+xy^2-5xy+2x+2y-10$ を因数分解します。

まず、$xy$ でくくれる項をまとめます。

$x^2y+xy^2-5xy = xy(x+y-5)$

次に、$2x+2y-10 = 2(x+y-5)$

したがって、

$x^2y+xy^2-5xy+2x+2y-10 = xy(x+y-5) + 2(x+y-5) = (xy+2)(x+y-5)$

(iii) $a^2b+ab^2-5ab+2a+2b-10$ の値を求めます。

(ii) の因数分解の結果を利用します。

$x^2y+xy^2-5xy+2x+2y-10 = (xy+2)(x+y-5)$

ここで、$x=a$, $y=b$ と考えると、$a^2b+ab^2-5ab+2a+2b-10$ は $(ab+2)(a+b-5)$ になります。

$a+b = 18$ であり、$ab = (2+\sqrt{5})^2(2-\sqrt{5})^2 = [(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})]^2 = (4-5)^2 = (-1)^2 = 1$ です。

したがって、

$(ab+2)(a+b-5) = (1+2)(18-5) = (3)(13) = 39$

3. 最終的な答え

(i) $a+b = 18$

(ii) $x^2y+xy^2-5xy+2x+2y-10 = (xy+2)(x+y-5)$

(iii) $a^2b+ab^2-5ab+2a+2b-10 = 39$