与えられた連立方程式を解き、$x$と$y$の値を求める問題、及び、2つの連立方程式が同じ解を持つとき、未知数$a$, $b$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた連立方程式を解き、$x$と$y$の値を求める問題、及び、2つの連立方程式が同じ解を持つとき、未知数$a$, $b$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

各連立方程式を解いていきます。

問1 (1)

$2x + y = 11$

$x - 4y = 1$

2番目の式より、$x = 4y + 1$

これを1番目の式に代入すると、$2(4y + 1) + y = 11$

$8y + 2 + y = 11$

$9y = 9$

$y = 1$

$x = 4(1) + 1 = 5$

問1 (2)

$2x + 3y = 12$

$x - y = 1$

2番目の式より、$x = y + 1$

これを1番目の式に代入すると、$2(y + 1) + 3y = 12$

$2y + 2 + 3y = 12$

$5y = 10$

$y = 2$

$x = 2 + 1 = 3$

問2 (1)

$x = y + 1$

$4x + y = 14$

1番目の式を2番目の式に代入すると、$4(y + 1) + y = 14$

$4y + 4 + y = 14$

$5y = 10$

$y = 2$

$x = 2 + 1 = 3$

問2 (2)

$x = 3y + 2$

$x + 4y = 9$

1番目の式を2番目の式に代入すると、$3y + 2 + 4y = 9$

$7y = 7$

$y = 1$

$x = 3(1) + 2 = 5$

問3 (1)

$4x - y = 10$

$x + 3y = 9$

1番目の式より、$y = 4x - 10$

これを2番目の式に代入すると、$x + 3(4x - 10) = 9$

$x + 12x - 30 = 9$

$13x = 39$

$x = 3$

$y = 4(3) - 10 = 2$

問3 (2)

$2x = y - 1$

$2x + 3y = 19$

1番目の式より、$y = 2x + 1$

これを2番目の式に代入すると、$2x + 3(2x + 1) = 19$

$2x + 6x + 3 = 19$

$8x = 16$

$x = 2$

$y = 2(2) + 1 = 5$

問3 (3)

$2(x+1)-(y+1)=6$

$3(x+y)-4y=7$

$2x+2-y-1=6$

$2x-y=5$

$3x+3y-4y=7$

$3x-y=7$

$3x-y-(2x-y)=7-5$

$x=2$

$2(2)-y=5$

$4-y=5$

$y=-1$

問3 (4)

$6x-2(2x-3y)=2$

$5x-3(x-y)=-1$

$6x-4x+6y=2$

$2x+6y=2$

$x+3y=1$

$5x-3x+3y=-1$

$2x+3y=-1$

$x+3y-(2x+3y)=1-(-1)$

$-x=2$

$x=-2$

$-2+3y=1$

$3y=3$

$y=1$

問4

$3x - 4y = 5$

$x - y = 2$

2番目の式より、$x = y + 2$

これを1番目の式に代入すると、$3(y + 2) - 4y = 5$

$3y + 6 - 4y = 5$

$-y = -1$

$y = 1$

$x = 1 + 2 = 3$

従って、$x = 3, y = 1$を

$ax - by = 5$

$bx - ay = 1$

に代入する。

$3a - b = 5$

$3b - a = 1$

これを解くと、

$3a-b=5$

$9b-3a=3$

$8b=8$

$b=1$

$3a-1=5$

$3a=6$

$a=2$

3. 最終的な答え

問1 (1) $x=5, y=1$

問1 (2) $x=3, y=2$

問2 (1) $x=3, y=2$

問2 (2) $x=5, y=1$

問3 (1) $x=3, y=2$

問3 (2) $x=2, y=5$

問3 (3) $x=2, y=-1$

問3 (4) $x=-2, y=1$

問4 $a=2, b=1$