四面体ABCDにおいて、頂点の位置ベクトルがそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$で与えられています。辺ABを2:1に内分する点をP、辺CDを3:1に内分する点をQとします。線分PQの中点Mの位置ベクトル$\vec{m}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$を用いて表す問題です。

1. 問題の内容

四面体ABCDにおいて、頂点の位置ベクトルがそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$で与えられています。辺ABを2:1に内分する点をP、辺CDを3:1に内分する点をQとします。線分PQの中点Mの位置ベクトル$\vec{m}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$を用いて表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、点Pの位置ベクトル$\vec{p}$を求めます。Pは辺ABを2:1に内分するので、

$$\vec{p} = \frac{1\vec{a} + 2\vec{b}}{2+1} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$$

次に、点Qの位置ベクトル$\vec{q}$を求めます。Qは辺CDを3:1に内分するので、

$$\vec{q} = \frac{1\vec{c} + 3\vec{d}}{3+1} = \frac{1}{4}\vec{c} + \frac{3}{4}\vec{d}$$

最後に、点Mの位置ベクトル$\vec{m}$を求めます。Mは線分PQの中点なので、

$$\vec{m} = \frac{\vec{p} + \vec{q}}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{c} + \frac{3}{4}\vec{d}\right)$$

$$= \frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{8}\vec{c} + \frac{3}{8}\vec{d}$$

3. 最終的な答え

$$\vec{m} = \frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{8}\vec{c} + \frac{3}{8}\vec{d}$$