点A(-1, 2, 3)と点B(0, 4, 1)を通る直線lに、原点Oから垂線OHを下ろしたとき、点Hの座標を求める問題です。

1. 問題の内容

点A(-1, 2, 3)と点B(0, 4, 1)を通る直線lに、原点Oから垂線OHを下ろしたとき、点Hの座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、直線lの方向ベクトルを求めます。

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (0, 4, 1) - (-1, 2, 3) = (1, 2, -2)$

次に、直線l上の点をパラメータtを用いて表します。

$\vec{OH} = \vec{OA} + t\vec{AB} = (-1, 2, 3) + t(1, 2, -2) = (-1+t, 2+2t, 3-2t)$

したがって、点Hの座標は$H(-1+t, 2+2t, 3-2t)$と表せます。

$\vec{OH}$と$\vec{AB}$が垂直であることから、内積が0になることを利用します。

$\vec{OH} \cdot \vec{AB} = 0$

$(-1+t)(1) + (2+2t)(2) + (3-2t)(-2) = 0$

$-1+t+4+4t-6+4t = 0$

$9t - 3 = 0$

$9t = 3$

$t = \frac{1}{3}$

求めたtの値を点Hの座標の式に代入します。

$H(-1+\frac{1}{3}, 2+2\cdot\frac{1}{3}, 3-2\cdot\frac{1}{3}) = H(-\frac{2}{3}, \frac{8}{3}, \frac{7}{3})$

3. 最終的な答え

H(-2/3, 8/3, 7/3)