$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $1:2$ に内分する点を $C$、辺 $OB$ を $3:2$ に内分する点を $D$ とし、線分 $AD$ と線分 $BC$ の交点を $P$ とする。$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$ とするとき、 (1) $\overrightarrow{OP}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$ を用いて表せ。 (2) $OP$ の延長と $AB$ の交点を $Q$ とするとき、 (i) $AQ:QB$ を求めよ。 (ii) $OP:PQ$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $1:2$ に内分する点を $C$、辺 $OB$ を $3:2$ に内分する点を $D$ とし、線分 $AD$ と線分 $BC$ の交点を $P$ とする。$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$ とするとき、

(1) $\overrightarrow{OP}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$ を用いて表せ。

(2) $OP$ の延長と $AB$ の交点を $Q$ とするとき、

(i) $AQ:QB$ を求めよ。

(ii) $OP:PQ$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点 $P$ は線分 $AD$ 上にあるので、実数 $s$ を用いて、

$\overrightarrow{OP} = (1-s)\overrightarrow{OA} + s\overrightarrow{OD} = (1-s)\vec{a} + s\frac{3}{5}\vec{b}$

と表せる。

また、点 $P$ は線分 $BC$ 上にあるので、実数 $t$ を用いて、

$\overrightarrow{OP} = t\overrightarrow{OC} + (1-t)\overrightarrow{OB} = t\frac{1}{3}\vec{a} + (1-t)\vec{b}$

と表せる。

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、

$1-s = \frac{1}{3}t$

$\frac{3}{5}s = 1-t$

この連立方程式を解くと、

$1-s = \frac{1}{3}(1 - \frac{3}{5}s)^{-1}$

$1 - s = \frac{1}{3}(1 - \frac{3}{5}s)$

$1 - s = \frac{1}{3} - \frac{1}{5}s$

$\frac{4}{5}s = \frac{2}{3}$

$s = \frac{5}{6}$

$t = 1 - \frac{3}{5}s = 1 - \frac{3}{5}\frac{5}{6} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

したがって、

$\overrightarrow{OP} = (1-\frac{5}{6})\vec{a} + \frac{5}{6}\frac{3}{5}\vec{b} = \frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$

または

$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{2}\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} = \frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$

(2)(i) 点 $Q$ は直線 $OP$ 上にあるので、実数 $k$ を用いて、

$\overrightarrow{OQ} = k\overrightarrow{OP} = k(\frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b})$

と表せる。

また、点 $Q$ は直線 $AB$ 上にあるので、実数 $u$ を用いて、

$\overrightarrow{OQ} = (1-u)\overrightarrow{OA} + u\overrightarrow{OB} = (1-u)\vec{a} + u\vec{b}$

と表せる。

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、

$\frac{1}{6}k = 1-u$

$\frac{1}{2}k = u$

この連立方程式を解くと、

$\frac{1}{6}k = 1 - \frac{1}{2}k$

$\frac{1}{6}k + \frac{3}{6}k = 1$

$\frac{4}{6}k = 1$

$k = \frac{3}{2}$

$u = \frac{1}{2}k = \frac{1}{2}\frac{3}{2} = \frac{3}{4}$

したがって、

$\overrightarrow{OQ} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b}$

点 $Q$ は線分 $AB$ を $3:1$ に内分するので、$AQ:QB = 3:1$

(ii) $\overrightarrow{OQ} = \frac{3}{2}\overrightarrow{OP}$ より、

$\overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{PQ}$

$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = \frac{3}{2}\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OP} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OP}$

$OP:PQ = 1:\frac{1}{2} = 2:1$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{OP} = \frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$

(2) (i) $AQ:QB = 3:1$

(ii) $OP:PQ = 2:1$