(1) 線分$AB$を$7:4$に外分する点を$C$とするとき、$\overrightarrow{OC}$を$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$を用いて表す。 (2) 正六角形$ABCDEF$において、線分$DE$を$2:1$に内分する点を$P$とする。$AP$と$BF$の交点を$Q$とするとき、$\overrightarrow{AQ}$を$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AF}$を用いて表す。

1. 問題の内容

(1) 線分$AB$を$7:4$に外分する点を$C$とするとき、$\overrightarrow{OC}$を$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$を用いて表す。

(2) 正六角形$ABCDEF$において、線分$DE$を$2:1$に内分する点を$P$とする。$AP$と$BF$の交点を$Q$とするとき、$\overrightarrow{AQ}$を$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AF}$を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) $C$は$AB$を$7:4$に外分するので、$\overrightarrow{OC} = \frac{-4 \overrightarrow{OA} + 7 \overrightarrow{OB}}{7-4} = \frac{-4}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{7}{3} \overrightarrow{OB}$.

よって、$\overrightarrow{OC} = -\frac{4}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{7}{3} \overrightarrow{OB}$.

(2) $P$は$DE$を$2:1$に内分するので、$\overrightarrow{AP} = \frac{\overrightarrow{AE} + 2 \overrightarrow{AD}}{3}$.

ここで、$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AB} + 2 \overrightarrow{AF}$.

また、$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF}$.

よって、$\overrightarrow{AP} = \frac{\overrightarrow{AB} + 2 \overrightarrow{AF} + 2 (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF})}{3} = \frac{3 \overrightarrow{AB} + 4 \overrightarrow{AF}}{3} = \overrightarrow{AB} + \frac{4}{3} \overrightarrow{AF}$.

次に、点$Q$は直線$AP$上にあるので、実数$k$を用いて、

$\overrightarrow{AQ} = k \overrightarrow{AP} = k (\overrightarrow{AB} + \frac{4}{3} \overrightarrow{AF}) = k \overrightarrow{AB} + \frac{4k}{3} \overrightarrow{AF}$.

また、点$Q$は直線$BF$上にあるので、実数$l$を用いて、

$\overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{AF} + l \overrightarrow{FB} = \overrightarrow{AF} + l (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AF}) = l \overrightarrow{AB} + (1-l) \overrightarrow{AF}$.

したがって、

$k = l$かつ$\frac{4k}{3} = 1-l$.

$\frac{4k}{3} = 1-k$より、$4k = 3 - 3k$.

$7k = 3$となり、$k = \frac{3}{7}$.

$\overrightarrow{AQ} = \frac{3}{7} \overrightarrow{AB} + \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{7} \overrightarrow{AF} = \frac{3}{7} \overrightarrow{AB} + \frac{4}{7} \overrightarrow{AF}$.

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{OC} = -\frac{4}{3} \overrightarrow{OA} + \frac{7}{3} \overrightarrow{OB}$

(2) $\overrightarrow{AQ} = \frac{3}{7} \overrightarrow{AB} + \frac{4}{7} \overrightarrow{AF}$