この問題は、三角比に関する問題です。具体的には、以下の4つの小問から構成されています。 (1) 直角三角形の図から、$sin \theta$, $cos \theta$, $tan \theta$の値を求める。 (2) $\theta$ が鈍角のとき、$cos \theta = -\frac{3}{4}$ のときの $sin \theta$ と $tan \theta$ の値を求める。 (3) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、以下の等式を満たす $\theta$ の値を求める。 (i) $sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (ii) $tan \theta = -1$ (4) $sin 115^\circ$ を、鋭角の三角比で表す。

1. 問題の内容

この問題は、三角比に関する問題です。具体的には、以下の4つの小問から構成されています。

(1) 直角三角形の図から、$sin \theta$, $cos \theta$, $tan \theta$の値を求める。

(2) $\theta$ が鈍角のとき、$cos \theta = -\frac{3}{4}$ のときの $sin \theta$ と $tan \theta$ の値を求める。

(3) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、以下の等式を満たす $\theta$ の値を求める。

(i) $sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(ii) $tan \theta = -1$

(4) $sin 115^\circ$ を、鋭角の三角比で表す。

2. 解き方の手順

(1) 図より、$AB = 1$, $BC = \sqrt{2}$ なので、三平方の定理より $AC = \sqrt{1^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{3}$。したがって、

$sin \theta = \frac{AB}{AC} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$cos \theta = \frac{BC}{AC} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$tan \theta = \frac{AB}{BC} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(2) $cos \theta = -\frac{3}{4}$ より、$sin^2 \theta + cos^2 \theta = 1$ なので、

$sin^2 \theta = 1 - cos^2 \theta = 1 - (-\frac{3}{4})^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$

$\theta$ は鈍角なので、$sin \theta > 0$。よって、$sin \theta = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

$tan \theta = \frac{sin \theta}{cos \theta} = \frac{\frac{\sqrt{7}}{4}}{-\frac{3}{4}} = -\frac{\sqrt{7}}{3}$

(3)

(i) $sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ は、$60^\circ$ と $120^\circ$。

(ii) $tan \theta = -1$ となる $\theta$ は、$135^\circ$。

(4) $sin(180^\circ - \theta) = sin \theta$ を利用する。

$sin 115^\circ = sin(180^\circ - 115^\circ) = sin 65^\circ$

3. 最終的な答え

[1] $sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $cos \theta = \frac{\sqrt{6}}{3}$, $tan \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$

[2] $sin \theta = \frac{\sqrt{7}}{4}$, $tan \theta = -\frac{\sqrt{7}}{3}$

[3] (1) $\theta = 60^\circ, 120^\circ$ (2) $\theta = 135^\circ$

[4] $sin 115^\circ = sin 65^\circ$