大問3は三角比に関する問題です。具体的には、以下の内容を扱います。 * [1] 直角三角形が与えられたときの$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$の値を求める問題 * [2] $\cos \theta$の値が与えられたときに、$\sin \theta$, $\tan \theta$の値を求める問題（$\theta$は鈍角） * [3] $\sin \theta$ または $\tan \theta$ の値が与えられたときに、$\theta$ の値を求める問題（$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$） * [4] $\sin 115^\circ$を鋭角の三角比で表す問題

1. 問題の内容

大問3は三角比に関する問題です。具体的には、以下の内容を扱います。

* [1] 直角三角形が与えられたときの$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$の値を求める問題

* [2] $\cos \theta$の値が与えられたときに、$\sin \theta$, $\tan \theta$の値を求める問題（$\theta$は鈍角）

* [3] $\sin \theta$ または $\tan \theta$ の値が与えられたときに、$\theta$ の値を求める問題（$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$）

* [4] $\sin 115^\circ$を鋭角の三角比で表す問題

2. 解き方の手順

[1]

まず、三角形の辺ABの長さをピタゴラスの定理を用いて求める。$AB^2 + BC^2 = AC^2$より、$AB^2 + (\sqrt{2})^2 = 2^2$。したがって、$AB^2 = 4 - 2 = 2$となり、$AB = \sqrt{2}$です。よって、

$\sin \theta = \frac{AB}{AC} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos \theta = \frac{BC}{AC} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan \theta = \frac{AB}{BC} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$

[2]

$\cos \theta = -\frac{3}{4}$ のとき、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用いて、$\sin \theta$を求める。

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \left(-\frac{3}{4}\right)^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$

$\theta$は鈍角なので、$\sin \theta > 0$ より、$\sin \theta = \frac{\sqrt{7}}{4}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{\sqrt{7}}{4}}{-\frac{3}{4}} = -\frac{\sqrt{7}}{3}$

[3]

(1) $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ は $60^\circ$ と $120^\circ$ です。

(2) $\tan \theta = -1$ となる $\theta$ は $135^\circ$ です。

[4]

$\sin(180^\circ - x) = \sin x$ を利用すると、$\sin 115^\circ = \sin (180^\circ - 115^\circ) = \sin 65^\circ$です。

3. 最終的な答え

[1]

$\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan \theta = 1$

[2]

$\sin \theta = \frac{\sqrt{7}}{4}$

$\tan \theta = -\frac{\sqrt{7}}{3}$

[3]

(1) $\theta = 60^\circ, 120^\circ$

(2) $\theta = 135^\circ$

[4]

$\sin 115^\circ = \sin 65^\circ$