円に内接する八角形の3つの頂点を結んで三角形を作るとき、以下の問いに答えます。 (1) 八角形と1辺だけを共有する三角形は何個あるか。 (2) 八角形と辺を共有しない三角形は何個あるか。

1. 問題の内容

円に内接する八角形の3つの頂点を結んで三角形を作るとき、以下の問いに答えます。

(1) 八角形と1辺だけを共有する三角形は何個あるか。

(2) 八角形と辺を共有しない三角形は何個あるか。

2. 解き方の手順

(1) 八角形と1辺だけを共有する三角形の個数を求める。

八角形の辺を1つ選びます。その辺を共有する三角形を作るには、残りの頂点を、その辺の両隣以外の5つの頂点から選ぶ必要があります。

したがって、1つの辺に対して5つの三角形ができます。

八角形には8つの辺があるので、$8 \times 5 = 40$個の三角形ができます。

(2) 八角形と辺を共有しない三角形の個数を求める。

まず、八角形の3つの頂点を選んで三角形を作るすべての組み合わせの数を計算します。これは、8つの頂点から3つを選ぶ組み合わせなので、${}_8 C_3$で表されます。

$${}_8 C_3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$$

次に、八角形と2辺を共有する三角形の数を計算します。これは、八角形の頂点の数と同じで8個です。

八角形と1辺を共有する三角形の数は(1)で計算したように40個です。

八角形と辺を共有しない三角形の数は、すべての三角形の数から、2辺を共有する三角形の数と1辺を共有する三角形の数を引いたものです。

したがって、$56 - 8 - 40 = 8$個の三角形ができます。

3. 最終的な答え

(1) 40個

(2) 8個