三角形の内角の和は $180^\circ$ なので、$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 75^\circ - 60^\circ = 45^\circ$

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1. 問題の内容

この問題は、3つの三角形に関する問題です。

* 問題5: $\triangle ABC$ において、$AB = 4, A = 75^\circ, B = 60^\circ$ のとき、$CA$ の長さと外接円の半径 $R$ を求めます。

* 問題6: $\triangle ABC$ において、$AB = 3, BC = \sqrt{7}, CA = 2$ のとき、角 $A$ の大きさを求めます。

* 問題7: $\triangle ABC$ において、$AB = 8, BC = 3\sqrt{3}, B = 135^\circ$ のとき、$\triangle ABC$ の面積 $S$ を求めます。

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2. 解き方の手順

### 問題5

1. **角Cの計算:**

三角形の内角の和は $180^\circ$ なので、$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 75^\circ - 60^\circ = 45^\circ$

2. **正弦定理によるCAの計算:**

正弦定理より、$\frac{AB}{\sin C} = \frac{CA}{\sin B}$ が成り立ちます。

$CA = \frac{AB \cdot \sin B}{\sin C} = \frac{4 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 2 \sqrt{6}$

3. **正弦定理による外接円の半径Rの計算:**

正弦定理より、$\frac{AB}{\sin C} = 2R$ が成り立ちます。

$R = \frac{AB}{2 \sin C} = \frac{4}{2 \sin 45^\circ} = \frac{4}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$

### 問題6

1. **余弦定理によるcosAの計算:**

余弦定理より、$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2 \cdot AB \cdot CA \cdot \cos A$ が成り立ちます。

$\cos A = \frac{AB^2 + CA^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot CA} = \frac{3^2 + 2^2 - (\sqrt{7})^2}{2 \cdot 3 \cdot 2} = \frac{9 + 4 - 7}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

2. **角Aの計算:**

$\cos A = \frac{1}{2}$ となる $A$ は、$A = 60^\circ$

### 問題7

1. **面積の公式:**

三角形の面積の公式 $S = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin B$ を用います。

2. **面積の計算:**

$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \sin 135^\circ = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6 \sqrt{6} \cdot \sqrt{3} = 12\sqrt{6}$

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3. 最終的な答え

* 問題5: $CA = 2\sqrt{6}, R = 2\sqrt{2}$

* 問題6: $A = 60^\circ$

* 問題7: $S = 12\sqrt{6}$