次の3つの絶対値不等式を解く問題です。 (1) $|2x - 4| \le x + 1$ (2) $|3x - 6| > x + 2$ (3) $|x + 4| < -3x$

1. 問題の内容

次の3つの絶対値不等式を解く問題です。

(1) $|2x - 4| \le x + 1$

(2) $|3x - 6| > x + 2$

(3) $|x + 4| < -3x$

2. 解き方の手順

(1) $|2x - 4| \le x + 1$ の場合：

絶対値の中身の符号で場合分けします。

(i) $2x - 4 \ge 0$ つまり $x \ge 2$ のとき：

$2x - 4 \le x + 1$

$x \le 5$

よって、$2 \le x \le 5$

(ii) $2x - 4 < 0$ つまり $x < 2$ のとき：

$-(2x - 4) \le x + 1$

$-2x + 4 \le x + 1$

$3 \le 3x$

$1 \le x$

よって、$1 \le x < 2$

(i)と(ii)を合わせて、$1 \le x \le 5$

(2) $|3x - 6| > x + 2$ の場合：

絶対値の中身の符号で場合分けします。

(i) $3x - 6 \ge 0$ つまり $x \ge 2$ のとき：

$3x - 6 > x + 2$

$2x > 8$

$x > 4$

よって、$x > 4$

(ii) $3x - 6 < 0$ つまり $x < 2$ のとき：

$-(3x - 6) > x + 2$

$-3x + 6 > x + 2$

$4 > 4x$

$1 > x$

よって、$x < 1$

(i)と(ii)を合わせて、$x < 1$ または $x > 4$

(3) $|x + 4| < -3x$ の場合：

絶対値の中身の符号で場合分けします。

(i) $x + 4 \ge 0$ つまり $x \ge -4$ のとき：

$x + 4 < -3x$

$4x < -4$

$x < -1$

よって、$-4 \le x < -1$

(ii) $x + 4 < 0$ つまり $x < -4$ のとき：

$-(x + 4) < -3x$

$-x - 4 < -3x$

$2x < 4$

$x < 2$

よって、$x < -4$

また、不等式の右辺 $-3x$ は正である必要があるため、$-3x > 0$ より $x < 0$ である必要があります。

(i)と(ii)を合わせて、$x < -1$

3. 最終的な答え

(1) $1 \le x \le 5$

(2) $x < 1$ または $x > 4$

(3) $x < -1$