与えられた行列 $Z$ に対して、その転置行列 $Z^T$ と $Z$ の積 $Z^TZ$ を計算し、さらにそのトレースを求める問題です。行列 $Z$ は以下の通りです。 $Z = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\cos\phi & \sin\theta\sin\phi \\ \sin\theta & \cos\theta\cos\phi & -\cos\theta\sin\phi \\ 0 & \sin\phi & \cos\phi \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 $Z$ に対して、その転置行列 $Z^T$ と $Z$ の積 $Z^TZ$ を計算し、さらにそのトレースを求める問題です。行列 $Z$ は以下の通りです。

$Z = \begin{bmatrix}

\cos\theta & -\sin\theta\cos\phi & \sin\theta\sin\phi \\

\sin\theta & \cos\theta\cos\phi & -\cos\theta\sin\phi \\

0 & \sin\phi & \cos\phi

\end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

まず、行列 $Z$ の転置行列 $Z^T$ を求めます。転置行列は、元の行列の行と列を入れ替えたものです。

$Z^T = \begin{bmatrix}

\cos\theta & \sin\theta & 0 \\

-\sin\theta\cos\phi & \cos\theta\cos\phi & \sin\phi \\

\sin\theta\sin\phi & -\cos\theta\sin\phi & \cos\phi

\end{bmatrix}$

次に、$Z^TZ$ を計算します。

$Z^TZ = \begin{bmatrix}

\cos\theta & \sin\theta & 0 \\

-\sin\theta\cos\phi & \cos\theta\cos\phi & \sin\phi \\

\sin\theta\sin\phi & -\cos\theta\sin\phi & \cos\phi

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

\cos\theta & -\sin\theta\cos\phi & \sin\theta\sin\phi \\

\sin\theta & \cos\theta\cos\phi & -\cos\theta\sin\phi \\

0 & \sin\phi & \cos\phi

\end{bmatrix}$

行列の積を計算します。

$Z^TZ = \begin{bmatrix}

\cos^2\theta + \sin^2\theta & -\cos\theta\sin\theta\cos\phi + \sin\theta\cos\theta\cos\phi & \cos\theta\sin\theta\sin\phi - \sin\theta\cos\theta\sin\phi \\

-\cos\theta\sin\theta\cos\phi + \sin\theta\cos\theta\cos\phi & \sin^2\theta\cos^2\phi + \cos^2\theta\cos^2\phi + \sin^2\phi & -\sin^2\theta\cos\phi\sin\phi - \cos^2\theta\cos\phi\sin\phi + \sin\phi\cos\phi \\

\cos\theta\sin\theta\sin\phi - \sin\theta\cos\theta\sin\phi & -\sin^2\theta\cos\phi\sin\phi - \cos^2\theta\cos\phi\sin\phi + \sin\phi\cos\phi & \sin^2\theta\sin^2\phi + \cos^2\theta\sin^2\phi + \cos^2\phi

\end{bmatrix}$

三角関数の性質 $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ を利用して、行列を簡略化します。

$Z^TZ = \begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 \\

0 & \cos^2\phi(\sin^2\theta + \cos^2\theta) + \sin^2\phi & \sin\phi\cos\phi(-\sin^2\theta - \cos^2\theta + 1) \\

0 & \sin\phi\cos\phi(-\sin^2\theta - \cos^2\theta + 1) & \sin^2\phi(\sin^2\theta + \cos^2\theta) + \cos^2\phi

\end{bmatrix}$

さらに簡略化します。

$Z^TZ = \begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 \\

0 & \cos^2\phi + \sin^2\phi & 0 \\

0 & 0 & \sin^2\phi + \cos^2\phi

\end{bmatrix}$

$Z^TZ = \begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 \\

0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 1

\end{bmatrix}$

最後に、$Z^TZ$ のトレースを計算します。トレースは、行列の対角成分の和です。

$\text{Tr}(Z^TZ) = 1 + 1 + 1 = 3$

3. 最終的な答え

$\text{Tr}(Z^TZ) = 3$