行列 $Z$ が与えられたとき、$Z$ の転置行列 $Z'$ と $Z$ の積 $Z'Z$ を計算し、$Z'Z$ のトレースを求める問題です。ここで、行列 $Z$ は次の通りです。 $Z = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \cos\phi & \sin\theta \sin\phi \\ \sin\theta & \cos\theta \cos\phi & -\cos\theta \sin\phi \\ 0 & \sin\phi & \cos\phi \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

行列 $Z$ が与えられたとき、$Z$ の転置行列 $Z'$ と $Z$ の積 $Z'Z$ を計算し、$Z'Z$ のトレースを求める問題です。ここで、行列 $Z$ は次の通りです。

$Z = \begin{bmatrix}

\cos\theta & -\sin\theta \cos\phi & \sin\theta \sin\phi \\

\sin\theta & \cos\theta \cos\phi & -\cos\theta \sin\phi \\

0 & \sin\phi & \cos\phi

\end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

まず、行列 $Z$ の転置行列 $Z'$ を求めます。

$Z'$ は $Z$ の行と列を入れ替えることで得られます。

$Z' = \begin{bmatrix}

\cos\theta & \sin\theta & 0 \\

-\sin\theta \cos\phi & \cos\theta \cos\phi & \sin\phi \\

\sin\theta \sin\phi & -\cos\theta \sin\phi & \cos\phi

\end{bmatrix}$

次に、$Z'Z$ を計算します。

$Z'Z = \begin{bmatrix}

\cos\theta & \sin\theta & 0 \\

-\sin\theta \cos\phi & \cos\theta \cos\phi & \sin\phi \\

\sin\theta \sin\phi & -\cos\theta \sin\phi & \cos\phi

\end{bmatrix} \begin{bmatrix}

\cos\theta & -\sin\theta \cos\phi & \sin\theta \sin\phi \\

\sin\theta & \cos\theta \cos\phi & -\cos\theta \sin\phi \\

0 & \sin\phi & \cos\phi

\end{bmatrix}$

$Z'Z = \begin{bmatrix}

\cos^2\theta + \sin^2\theta & -\cos\theta \sin\theta \cos\phi + \sin\theta \cos\theta \cos\phi & \cos\theta \sin\theta \sin\phi - \sin\theta \cos\theta \sin\phi \\

-\sin\theta \cos\theta \cos\phi + \cos\theta \sin\theta \cos\phi & \sin^2\theta \cos^2\phi + \cos^2\theta \cos^2\phi + \sin^2\phi & -\sin^2\theta \cos\phi \sin\phi - \cos^2\theta \cos\phi \sin\phi + \sin\phi \cos\phi \\

\sin\theta \cos\theta \sin\phi - \cos\theta \sin\theta \sin\phi & -\sin^2\theta \sin\phi \cos\phi - \cos^2\theta \sin\phi \cos\phi + \sin\phi \cos\phi & \sin^2\theta \sin^2\phi + \cos^2\theta \sin^2\phi + \cos^2\phi

\end{bmatrix}$

$Z'Z = \begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 \\

0 & (\sin^2\theta + \cos^2\theta)\cos^2\phi + \sin^2\phi & -(\sin^2\theta + \cos^2\theta)\cos\phi \sin\phi + \sin\phi \cos\phi \\

0 & -(\sin^2\theta + \cos^2\theta)\sin\phi \cos\phi + \sin\phi \cos\phi & (\sin^2\theta + \cos^2\theta)\sin^2\phi + \cos^2\phi

\end{bmatrix}$

$Z'Z = \begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 \\

0 & \cos^2\phi + \sin^2\phi & -\cos\phi \sin\phi + \sin\phi \cos\phi \\

0 & -\sin\phi \cos\phi + \sin\phi \cos\phi & \sin^2\phi + \cos^2\phi

\end{bmatrix}$

$Z'Z = \begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 \\

0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 1

\end{bmatrix}$

$Z'Z$ のトレースは対角成分の和です。

$Tr(Z'Z) = 1 + 1 + 1 = 3$

3. 最終的な答え

トレースは 3 です。