等差数列 $\{a_n\}$ があり、第3項が1、初項から第8項までの和が-10である。 (1) 数列 $\{a_n\}$ の初項と公差を求める。 (2) 数列 $\{a_n\}$ を次のように群に分け、第$k$群には $2^{k-1}$ 個の数が入るようにする。 第8群の最初の数を求め、また、$-5000$以下の数が初めて現れるのは第何群かを求める。

1. 問題の内容

等差数列 $\{a_n\}$ があり、第3項が1、初項から第8項までの和が-10である。

(1) 数列 $\{a_n\}$ の初項と公差を求める。

(2) 数列 $\{a_n\}$ を次のように群に分け、第$k$群には $2^{k-1}$ 個の数が入るようにする。

第8群の最初の数を求め、また、$-5000$以下の数が初めて現れるのは第何群かを求める。

2. 解き方の手順

(1) 初項を$a$, 公差を$d$とおくと、

第3項が1より、

$a+2d = 1$ (1)

初項から第8項までの和が-10より、

$\frac{8}{2}(2a+7d) = -10$

$4(2a+7d) = -10$

$8a+28d = -10$

$4a+14d = -5$ (2)

(1)を4倍すると $4a+8d = 4$ (3)

(2)-(3)より、

$6d = -9$

$d = -\frac{3}{2}$

(1)に代入して、

$a+2(-\frac{3}{2}) = 1$

$a-3 = 1$

$a = 4$

(2) 第$k$群には $2^{k-1}$ 個の数が入るので、第7群までの項数の合計は

$2^0 + 2^1 + 2^2 + \cdots + 2^6 = \frac{1(2^7-1)}{2-1} = 2^7-1 = 128-1 = 127$

よって、第8群の最初の数は$a_{128}$である。

$a_n = a+(n-1)d$より、

$a_{128} = 4+(128-1)(-\frac{3}{2}) = 4+127(-\frac{3}{2}) = 4 - \frac{381}{2} = \frac{8-381}{2} = -\frac{373}{2} = -186.5$

次に、$-5000$以下の数が初めて現れる群を求める。

$a_n = 4+(n-1)(-\frac{3}{2}) \le -5000$

$4 - \frac{3}{2}(n-1) \le -5000$

$8 - 3(n-1) \le -10000$

$8 - 3n + 3 \le -10000$

$11 - 3n \le -10000$

$-3n \le -10011$

$3n \ge 10011$

$n \ge 3337$

第$k$群までの項数の合計が3337を超えるような$k$を求める。

$\sum_{i=1}^{k} 2^{i-1} = 2^0 + 2^1 + \dots + 2^{k-1} = \frac{1(2^k-1)}{2-1} = 2^k-1$

$2^k-1 \ge 3337$

$2^k \ge 3338$

$2^{11} = 2048$, $2^{12} = 4096$より、$k=12$

3. 最終的な答え

(1) 初項: 4, 公差: $-\frac{3}{2}$

(2) 第8群の最初の数: $-\frac{373}{2}$

$-5000$以下の数が初めて現れるのは第12群