絶対値に関する性質 $|a|^2 = a^2$, $|a| \ge a$, $|a| \ge -a$ を用いて、次の不等式を証明する。 $\sqrt{a^2 + b^2} \le |a| + |b| \le \sqrt{2(a^2 + b^2)}$

1. 問題の内容

絶対値に関する性質 $|a|^2 = a^2$, $|a| \ge a$, $|a| \ge -a$ を用いて、次の不等式を証明する。

$\sqrt{a^2 + b^2} \le |a| + |b| \le \sqrt{2(a^2 + b^2)}$

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{a^2 + b^2} \le |a| + |b|$ を示す。

両辺を2乗すると、

$a^2 + b^2 \le (|a| + |b|)^2 = |a|^2 + 2|a||b| + |b|^2 = a^2 + 2|a||b| + b^2$

したがって、$0 \le 2|a||b|$

これは常に成り立つので、$\sqrt{a^2 + b^2} \le |a| + |b|$ が成り立つ。

次に、$|a| + |b| \le \sqrt{2(a^2 + b^2)}$ を示す。

両辺を2乗すると、

$(|a| + |b|)^2 \le 2(a^2 + b^2)$

$|a|^2 + 2|a||b| + |b|^2 \le 2a^2 + 2b^2$

$a^2 + 2|a||b| + b^2 \le 2a^2 + 2b^2$

$2|a||b| \le a^2 + b^2$

$0 \le a^2 - 2|a||b| + b^2$

$0 \le (|a| - |b|)^2$

これは常に成り立つので、$|a| + |b| \le \sqrt{2(a^2 + b^2)}$ が成り立つ。

よって、$\sqrt{a^2 + b^2} \le |a| + |b| \le \sqrt{2(a^2 + b^2)}$ が証明された。

3. 最終的な答え

$\sqrt{a^2 + b^2} \le |a| + |b| \le \sqrt{2(a^2 + b^2)}$