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与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 7 & 4 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を掃き出し法（ガウス・ジョルダン法）を用いて求める問題です。

代数学線形代数行列逆行列掃き出し法ガウス・ジョルダン法
2025/6/14

1. 問題の内容

与えられた行列 A=[121274221]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 7 & 4 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} の逆行列 A−1A^{-1} を掃き出し法（ガウス・ジョルダン法）を用いて求める問題です。

2. 解き方の手順

掃き出し法では、行列 AA に単位行列 EE を並べた拡大行列 [A∣E][A|E] を作り、行基本変形を繰り返して AA を単位行列に変形します。その結果、EE の部分が A−1A^{-1} になります。
まず、拡大行列 [A∣E][A|E] を作成します。
[A∣E]=[121∣100274∣010221∣001][A|E] = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 7 & 4 & | & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

1. 2行目から1行目の2倍を引きます (R2 -> R2 - 2*R1)。

[121∣100032∣−210221∣001]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 2 & | & -2 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

2. 3行目から1行目の2倍を引きます (R3 -> R3 - 2*R1)。

[121∣100032∣−2100−2−1∣−201]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 2 & | & -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & -1 & | & -2 & 0 & 1 \end{bmatrix}

3. 2行目を3倍、3行目を2倍します。

[121∣100096∣−6300−4−2∣−402]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 6 & | & -6 & 3 & 0 \\ 0 & -4 & -2 & | & -4 & 0 & 2 \end{bmatrix}

4. 2行目を3倍、3行目を2倍して、3行目に2行目を足します。(R3 -> R3+(2/3)R2)

[121∣100096∣−630054∣−832]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 6 & | & -6 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & 4 & | & -8 & 3 & 2 \end{bmatrix}

5. 2行目を3行目の9/5倍引きます (R2 -> R2 - 9/5 * R3)。

[121∣10000−6/5∣42/5−12/5−18/5054∣−832]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -6/5 & | & 42/5 & -12/5 & -18/5 \\ 0 & 5 & 4 & | & -8 & 3 & 2 \end{bmatrix}

6. 2行目と3行目を入れ替えます。

[121∣100054∣−83200−6/5∣42/5−12/5−18/5]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 4 & | & -8 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & -6/5 & | & 42/5 & -12/5 & -18/5 \end{bmatrix}

7. 2行目を5で割ります。

[121∣100014/5∣−8/53/52/500−6/5∣42/5−12/5−18/5]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4/5 & | & -8/5 & 3/5 & 2/5 \\ 0 & 0 & -6/5 & | & 42/5 & -12/5 & -18/5 \end{bmatrix}

8. 3行目を-5/6で割ります。

[121∣100014/5∣−8/53/52/5001∣−723]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4/5 & | & -8/5 & 3/5 & 2/5 \\ 0 & 0 & 1 & | & -7 & 2 & 3 \end{bmatrix}

9. 2行目から3行目の4/5倍を引きます (R2 -> R2 - 4/5*R3)。

[121∣100010∣4−1−2001∣−723]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 4 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & | & -7 & 2 & 3 \end{bmatrix}
1

0. 1行目から3行目を引きます (R1 -> R1 - R3)。

[120∣8−2−3010∣4−1−2001∣−723]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 8 & -2 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & | & 4 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & | & -7 & 2 & 3 \end{bmatrix}
1

1. 1行目から2行目の2倍を引きます (R1 -> R1 - 2*R2)。

[100∣001010∣4−1−2001∣−723]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & | & 4 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & | & -7 & 2 & 3 \end{bmatrix}
したがって、A−1=[0014−1−2−723]A^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 4 & -1 & -2 \\ -7 & 2 & 3 \end{bmatrix}

3. 最終的な答え

A−1=[0014−1−2−723]A^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 4 & -1 & -2 \\ -7 & 2 & 3 \end{bmatrix}

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