問題41の(1)から(8)までの関数をそれぞれ微分する。

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1. 問題の内容

問題41の(1)から(8)までの関数をそれぞれ微分する。

2. 解き方の手順

(1) $y = (x^2 + x - 2)^6$ の微分

合成関数の微分を用いる。$u = x^2 + x - 2$ とおくと、$y = u^6$。

$\frac{dy}{du} = 6u^5$

$\frac{du}{dx} = 2x + 1$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 6(x^2 + x - 2)^5 (2x + 1)$

(2) $y = (4 - x^2)^3$ の微分

合成関数の微分を用いる。$u = 4 - x^2$ とおくと、$y = u^3$。

$\frac{dy}{du} = 3u^2$

$\frac{du}{dx} = -2x$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 3(4 - x^2)^2 (-2x) = -6x(4 - x^2)^2$

(3) $y = e^{x^2}$ の微分

合成関数の微分を用いる。$u = x^2$ とおくと、$y = e^u$。

$\frac{dy}{du} = e^u$

$\frac{du}{dx} = 2x$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = e^{x^2} (2x) = 2xe^{x^2}$

(4) $y = e^{\sin x}$ の微分

合成関数の微分を用いる。$u = \sin x$ とおくと、$y = e^u$。

$\frac{dy}{du} = e^u$

$\frac{du}{dx} = \cos x$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = e^{\sin x} (\cos x) = \cos x e^{\sin x}$

(5) $y = \log(x^2 + 1)$ の微分

合成関数の微分を用いる。$u = x^2 + 1$ とおくと、$y = \log u$。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$

$\frac{du}{dx} = 2x$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{x^2 + 1} (2x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$

(6) $y = \log |\sin x|$ の微分

合成関数の微分を用いる。$u = \sin x$ とおくと、$y = \log |u|$。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$

$\frac{du}{dx} = \cos x$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{\sin x} (\cos x) = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$

(7) $y = \sqrt[3]{x^2 + 1} = (x^2 + 1)^{\frac{1}{3}}$ の微分

合成関数の微分を用いる。$u = x^2 + 1$ とおくと、$y = u^{\frac{1}{3}}$。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{3} u^{-\frac{2}{3}}$

$\frac{du}{dx} = 2x$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{3} (x^2 + 1)^{-\frac{2}{3}} (2x) = \frac{2x}{3(x^2 + 1)^{\frac{2}{3}}}$

(8) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} = (x^2 + 1)^{-\frac{1}{2}}$ の微分

合成関数の微分を用いる。$u = x^2 + 1$ とおくと、$y = u^{-\frac{1}{2}}$。

$\frac{dy}{du} = -\frac{1}{2} u^{-\frac{3}{2}}$

$\frac{du}{dx} = 2x$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -\frac{1}{2} (x^2 + 1)^{-\frac{3}{2}} (2x) = -\frac{x}{(x^2 + 1)^{\frac{3}{2}}}$

3. 最終的な答え

(1) $6(x^2 + x - 2)^5(2x + 1)$

(2) $-6x(4 - x^2)^2$

(3) $2xe^{x^2}$

(4) $\cos x e^{\sin x}$

(5) $\frac{2x}{x^2 + 1}$

(6) $\cot x$

(7) $\frac{2x}{3(x^2 + 1)^{\frac{2}{3}}}$

(8) $-\frac{x}{(x^2 + 1)^{\frac{3}{2}}}$