関数 $y = \log \frac{(x+1)^2}{(x-1)^3}$ を微分せよ。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題のうち、44-(1) の問題を解いてみます。

1. 問題の内容

関数 $y = \log \frac{(x+1)^2}{(x-1)^3}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を用いて関数を簡単にします。対数の性質$\log \frac{a}{b} = \log a - \log b$および$\log a^n = n \log a$を用いると、

$y = \log (x+1)^2 - \log (x-1)^3 = 2\log(x+1) - 3\log(x-1)$

次に、それぞれの項を微分します。$\frac{d}{dx} \log x = \frac{1}{x}$であることを利用します。

$\frac{dy}{dx} = 2\frac{d}{dx} \log (x+1) - 3\frac{d}{dx} \log (x-1)$

合成関数の微分より、

$\frac{d}{dx} \log (x+1) = \frac{1}{x+1} \cdot \frac{d}{dx} (x+1) = \frac{1}{x+1} \cdot 1 = \frac{1}{x+1}$

同様に、

$\frac{d}{dx} \log (x-1) = \frac{1}{x-1} \cdot \frac{d}{dx} (x-1) = \frac{1}{x-1} \cdot 1 = \frac{1}{x-1}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{x+1} - 3 \cdot \frac{1}{x-1} = \frac{2}{x+1} - \frac{3}{x-1}$

これを整理するために通分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{2(x-1) - 3(x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{2x - 2 - 3x - 3}{(x+1)(x-1)} = \frac{-x - 5}{x^2 - 1} = -\frac{x+5}{x^2-1}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{x+5}{x^2-1}$