与えられた4つの関数を微分する問題です。具体的には以下の関数を微分します。 (1) $y = \sin^4 3x$ (2) $y = \tan^3 2x$ (3) $y = e^{x^3} \sin 2x$ (4) $y = \{\log(x^2 + 1)\}^3$

1. 問題の内容

与えられた4つの関数を微分する問題です。具体的には以下の関数を微分します。

(1) $y = \sin^4 3x$

(2) $y = \tan^3 2x$

(3) $y = e^{x^3} \sin 2x$

(4) $y = \{\log(x^2 + 1)\}^3$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin^4 3x$

合成関数の微分を使います。$u = \sin 3x$ とすると、$y = u^4$です。

$\frac{dy}{du} = 4u^3$

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin 3x) = 3\cos 3x$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 4(\sin 3x)^3 \cdot 3\cos 3x = 12\sin^3 3x \cos 3x$

(2) $y = \tan^3 2x$

合成関数の微分を使います。$u = \tan 2x$ とすると、$y = u^3$です。

$\frac{dy}{du} = 3u^2$

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\tan 2x) = 2\sec^2 2x$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 3(\tan 2x)^2 \cdot 2\sec^2 2x = 6\tan^2 2x \sec^2 2x$

(3) $y = e^{x^3} \sin 2x$

積の微分と合成関数の微分を使います。

$\frac{d}{dx}(e^{x^3}) = 3x^2 e^{x^3}$

$\frac{d}{dx}(\sin 2x) = 2\cos 2x$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{x^3}) \sin 2x + e^{x^3} \frac{d}{dx}(\sin 2x) = 3x^2 e^{x^3} \sin 2x + e^{x^3} (2\cos 2x) = e^{x^3}(3x^2 \sin 2x + 2\cos 2x)$

(4) $y = \{\log(x^2 + 1)\}^3$

合成関数の微分を使います。$u = \log(x^2 + 1)$ とすると、$y = u^3$です。

$\frac{dy}{du} = 3u^2$

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\log(x^2 + 1)) = \frac{2x}{x^2 + 1}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 3\{\log(x^2 + 1)\}^2 \cdot \frac{2x}{x^2 + 1} = \frac{6x\{\log(x^2 + 1)\}^2}{x^2 + 1}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 12\sin^3 3x \cos 3x$

(2) $\frac{dy}{dx} = 6\tan^2 2x \sec^2 2x$

(3) $\frac{dy}{dx} = e^{x^3}(3x^2 \sin 2x + 2\cos 2x)$

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{6x\{\log(x^2 + 1)\}^2}{x^2 + 1}$