2次関数 $y = 2x^2 - 4x + a$ ($x \ge -1$) の最小値が1となるとき、$a$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 2x^2 - 4x + a$ ($x \ge -1$) の最小値が1となるとき、$a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = 2x^2 - 4x + a = 2(x^2 - 2x) + a = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + a = 2((x-1)^2 - 1) + a = 2(x-1)^2 - 2 + a$

したがって、$y = 2(x-1)^2 + a - 2$ となります。

次に、定義域 $x \ge -1$ における最小値を考えます。

平方完成した式から、この2次関数の頂点の座標は $(1, a-2)$ であることがわかります。

頂点の $x$ 座標は $x=1$ であり、これは定義域 $x \ge -1$ に含まれています。

したがって、$x=1$ のとき、最小値 $a-2$ をとります。

問題文より、最小値は1なので、$a-2 = 1$ となります。

これを解くと、$a = 3$ となります。

3. 最終的な答え

$a = 3$