$a$ を定数とする。2次関数 $y = 2x^2 - 4x + a$ ($x \leqq 0$) が最小値 3 をとるとき、$a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。2次関数 $y = 2x^2 - 4x + a$ ($x \leqq 0$) が最小値 3 をとるとき、$a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = 2x^2 - 4x + a = 2(x^2 - 2x) + a = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + a = 2(x - 1)^2 - 2 + a$

したがって、

$y = 2(x - 1)^2 + (a - 2)$

この2次関数の頂点の座標は $(1, a - 2)$ です。

定義域は $x \leqq 0$ であるため、軸 $x = 1$ は定義域に含まれません。

$x \leqq 0$ の範囲では、$x$ が減少するほど、$y$ の値は増加します。

したがって、$x = 0$ のとき、$y$ は最小値をとります。

問題文より、最小値は 3 なので、$x = 0$ のとき $y = 3$ となります。

$y = 2x^2 - 4x + a$ に $x = 0$, $y = 3$ を代入すると、

$3 = 2(0)^2 - 4(0) + a$

$3 = a$

したがって、$a = 3$ です。

3. 最終的な答え

$a = 3$