与えられた三重の総和を計算し、その結果に3を掛ける問題です。総和は次のようになります。 $3 \sum_{m=1}^{n} \left\{ \sum_{p=1}^{m} \left( \sum_{k=1}^{p} 1 \right) \right\}$

1. 問題の内容

与えられた三重の総和を計算し、その結果に3を掛ける問題です。総和は次のようになります。

$3 \sum_{m=1}^{n} \left\{ \sum_{p=1}^{m} \left( \sum_{k=1}^{p} 1 \right) \right\}$

2. 解き方の手順

まず、最も内側の総和を計算します。

$\sum_{k=1}^{p} 1 = p$

次に、その結果を用いて2番目の総和を計算します。

$\sum_{p=1}^{m} p = \frac{m(m+1)}{2}$

最後に、最も外側の総和を計算します。

$\sum_{m=1}^{n} \frac{m(m+1)}{2} = \sum_{m=1}^{n} \frac{m^2 + m}{2} = \frac{1}{2} \left( \sum_{m=1}^{n} m^2 + \sum_{m=1}^{n} m \right)$

ここで、$\sum_{m=1}^{n} m = \frac{n(n+1)}{2}$ と $\sum_{m=1}^{n} m^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ を用います。

したがって、

$\frac{1}{2} \left( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1)}{6} \right) = \frac{n(n+1)(2n+1+3)}{12} = \frac{n(n+1)(2n+4)}{12} = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

最後に、この結果に3を掛けます。

$3 \cdot \frac{n(n+1)(n+2)}{6} = \frac{n(n+1)(n+2)}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(n+2)}{2}$