関数 $y = |x^2 - 2x|$ のグラフを描く問題です。

代数学絶対値二次関数グラフ平方完成放物線
2025/6/14

1. 問題の内容

関数 y=x22xy = |x^2 - 2x| のグラフを描く問題です。

2. 解き方の手順

まず、絶対値記号の中身 x22xx^2 - 2x のグラフを考えます。
x22xx^2 - 2x を平方完成すると、
x22x=(x1)21x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1
となります。これは、頂点が (1,1)(1, -1) の下に凸な放物線です。x軸との交点は x22x=0x^2 - 2x = 0 より、x(x2)=0x(x-2) = 0 なので、x=0,2x = 0, 2 です。
次に、絶対値記号がついているので、x22x0x^2 - 2x \geq 0 のときは y=x22xy = x^2 - 2xx22x<0x^2 - 2x < 0 のときは y=(x22x)y = -(x^2 - 2x) となります。
すなわち、x0x \leq 0 または x2x \geq 2 のとき、y=x22xy = x^2 - 2x であり、0<x<20 < x < 2 のとき、y=(x22x)=x2+2xy = -(x^2 - 2x) = -x^2 + 2x です。
y=x2+2xy = -x^2 + 2x について平方完成すると、y=(x1)2+1y = -(x-1)^2 + 1 となります。これは、頂点が (1,1)(1, 1) の上に凸な放物線です。x軸との交点は x=0,2x = 0, 2 です。
したがって、
- x0x \le 0 の範囲では、y=x22xy = x^2 - 2x のグラフを描きます。
- 0<x<20 < x < 2 の範囲では、y=x2+2xy = -x^2 + 2x のグラフを描きます。
- x2x \ge 2 の範囲では、y=x22xy = x^2 - 2x のグラフを描きます。

3. 最終的な答え

グラフの概形は、下に凸な放物線 y=x22xy=x^2-2x の、x22xx^2-2xが負になる部分(0<x<20<x<2)をx軸に関して折り返した形になります。グラフはx=0, x=2でx軸と交わり、x=1x=1で極大値1をとります。

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