放物線 $y = x^2 + 2x + 2$ を $x$軸方向に$-1$、$y$軸方向に$2$だけ平行移動した放物線が $y = ax^2 + bx + c$ となるとき、定数 $a, b, c$ の値を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 + 2x + 2$ を $x$軸方向に$-1$、$y$軸方向に$2$だけ平行移動した放物線が $y = ax^2 + bx + c$ となるとき、定数 $a, b, c$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x$軸方向に$-1$、$y$軸方向に$2$だけ平行移動した放物線の方程式を求める。平行移動は、$x$ を $x+1$ に、$y$ を $y-2$ に置き換えることで実現できる。

したがって、$y = x^2 + 2x + 2$ を平行移動した放物線の方程式は、

$y - 2 = (x+1)^2 + 2(x+1) + 2$ となる。

これを展開して整理すると、

$y - 2 = x^2 + 2x + 1 + 2x + 2 + 2$

$y = x^2 + 4x + 7$

これが $y = ax^2 + bx + c$ と等しいので、$a, b, c$ の値を比較する。

3. 最終的な答え

$a = 1$

$b = 4$

$c = 7$