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$(\sqrt{2}-1)^3(\sqrt{2}+1)^3$ を計算せよ。

代数学式の計算平方根展開有理化
2025/6/14

1. 問題の内容

(2−1)3(2+1)3(\sqrt{2}-1)^3(\sqrt{2}+1)^3 を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、指数法則 (ab)n=anbn(ab)^n = a^n b^n を利用して、式を整理します。
(2−1)3(2+1)3=((2−1)(2+1))3(\sqrt{2}-1)^3(\sqrt{2}+1)^3 = ((\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1))^3
次に、 (2−1)(2+1)(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1) を計算します。これは、a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) の公式を利用できるので、
(2−1)(2+1)=(2)2−12=2−1=1(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1
したがって、
((2−1)(2+1))3=(1)3=1((\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1))^3 = (1)^3 = 1

3. 最終的な答え

1

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