AをB回かけることを<A, B>と表す時、以下の問題を解く。 (1) <3, 15> = Cの時、Cの一の位の数字を求める。 (2) <6, 2019> = Dの時、Dの十の位の数字を求める。 (3) <3, E>の一の位の数字と<6, E>の十の位の数字が等しくなるようなEは1から1000までに全部で何個あるか求める。

1. 問題の内容

AをB回かけることを<A, B>と表す時、以下の問題を解く。

(1) <3, 15> = Cの時、Cの一の位の数字を求める。

(2) <6, 2019> = Dの時、Dの十の位の数字を求める。

(3) <3, E>の一の位の数字と<6, E>の十の位の数字が等しくなるようなEは1から1000までに全部で何個あるか求める。

2. 解き方の手順

(1)

3の累乗の一の位の数字は3, 9, 7, 1の順に繰り返される。

周期は4。

15を4で割ると、余りは3。

したがって、<3, 15>の一の位の数字は、3の3乗の一の位の数字と同じで、7である。

(2)

6の累乗の一の位の数字は常に6である。

したがって、<6, 2019>の一の位の数字は6。

十の位の数字を求める。6の累乗を計算してみる。

$6^1 = 6$

$6^2 = 36$

$6^3 = 216$

$6^4 = 1296$

$6^5 = 7776$

全ての累乗の十の位は奇数。

2019は奇数なので、十の位の数字は奇数になる。

6のn乗の十の位は n-1。

したがって、<6, 2019>の十の位は1。

2019-1 = 2018

$6^{2019} \pmod{100}$ は $6^2 \pmod{100} = 36$の繰り返し。

なので、$6^1 = 06$

$6^2 = 36$

$6^3 = 16$

$6^4 = 96$

$6^5 = 76$

$6^6 = 56$

$6^7 = 36$

$6^8 = 16$

$6^9 = 96$

$6^{10}=76$

2019を5で割ると余り4なので $6^{2019}$ の十の位の数字は9。

$\pmod{20}$

(3)

<3, E>の一の位の数字と<6, E>の十の位の数字が等しくなるようなEを探す。

E=1, <3, 1> = 3, <6, 1> =

6. 3 != 0

E=2, <3, 2> = 9, <6, 2> =

3

6. 9 != 3

E=3, <3, 3> = 27, <6, 3> =

2

1

6. 7 != 1

E=4, <3, 4> = 81, <6, 4> =

1

2

9

6. 1 = 9

E=5, <3, 5> = 243, <6, 5> =

7

7

7

6. 3 != 7

E=6, <3, 6> = 729, <6, 6> =

4

6

6

5

6. 9 = 5

E=7, <3, 7> = 2187, <6, 7> =

2

7

9

9

3

6. 7 = 3

E=8, <3, 8> = 6561, <6, 8> =

1

6

7

9

6

1

6. 1 != 1

E=9, <3, 9> = 19683, <6, 9> =

1

0

0

7

7

6

9

6. 3 = 9

E=10, <3, 10> = 59049, <6, 10> =

6

0

4

6

6

1

7

6. 9 = 7

E=11, <3, 11> = 177147, <6, 11> =

3

6

2

7

9

7

0

5

6. 7 != 5

E=12, <3, 12> = 531441, <6, 12> =

2

1

7

6

7

8

2

3

3

6. 1 = 3

E=13, <3, 13> = 1594323, <6, 13> =

1

3

0

6

0

6

9

4

0

1

6. 3 != 0

E=14, <3, 14> = 4782969, <6, 14> =

7

8

3

6

4

1

6

4

0

9

6. 9 = 4

E=15, <3, 15> = 14348907, <6, 15> =

4

7

0

1

8

4

9

8

4

5

7

6. 7 != 7

3の累乗の一の位は4周期で3,9,7,1と繰り返される

6の累乗の一の位は常に6

6の累乗の十の位は $a_{n+1} = 6a_n \pmod{10}$

$a_1 = 0$

$a_2 = 3$

$a_3 = 1$

$a_4 = 9$

$a_5 = 7$

$a_6 = 5$

$a_7 = 3$

$a_8 = 1$

$a_9 = 9$

$a_{10} = 7$

周期は５。

<3, E>の一の位の数について考える。周期４。Eを4で割った余りで場合分けする。

E = 4k+1のとき、<3, E>の一の位は3

E = 4k+2のとき、<3, E>の一の位は9

E = 4k+3のとき、<3, E>の一の位は7

E = 4kのとき、<3, E>の一の位は1

<6, E>の十の位の数について考える。周期5。Eを5で割った余りで場合分けする。

E = 5k+1のとき、<6, E>の十の位は0

E = 5k+2のとき、<6, E>の十の位は3

E = 5k+3のとき、<6, E>の十の位は1

E = 5k+4のとき、<6, E>の十の位は9

E = 5kのとき、<6, E>の十の位は7

15, 315, 615

(1) 7

(2) 9

(3) 2

3. 最終的な答え

(1) 7

(2) 9

(3) 2個