$a = \frac{1}{3-2\sqrt{2}}$ とする。 (1) $a$ の分母を有理化し、簡単にせよ。 (2) $a$ の小数部分を $b$ とするとき、$b$ の値を求めよ。また、$a^2 - b^2$ の値を求めよ。 (3) $b$ を(2)で求めた値とし、$p$ は定数とする。$x$ についての不等式 $p < x < p+4b$ を満たす整数 $x$ が全部で3個あり、その3個の整数の和が0となるような $p$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$a = \frac{1}{3-2\sqrt{2}}$ とする。

(1) $a$ の分母を有理化し、簡単にせよ。

(2) $a$ の小数部分を $b$ とするとき、$b$ の値を求めよ。また、$a^2 - b^2$ の値を求めよ。

(3) $b$ を(2)で求めた値とし、$p$ は定数とする。$x$ についての不等式 $p < x < p+4b$ を満たす整数 $x$ が全部で3個あり、その3個の整数の和が0となるような $p$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の分母を有理化する。

$a = \frac{1}{3-2\sqrt{2}}$

$a = \frac{1}{3-2\sqrt{2}} \times \frac{3+2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}}$

$a = \frac{3+2\sqrt{2}}{9 - 8}$

$a = 3+2\sqrt{2}$

(2) $a$ の小数部分 $b$ を求める。

$a = 3+2\sqrt{2}$ において、$\sqrt{2} \approx 1.414$ であるから、$2\sqrt{2} \approx 2.828$。

よって、$a \approx 3+2.828 = 5.828$。

したがって、$a$ の整数部分は5である。

小数部分 $b$ は $a$ から整数部分を引いたものなので、

$b = a - 5 = (3+2\sqrt{2}) - 5 = 2\sqrt{2} - 2$

次に、$a^2 - b^2$ を求める。

$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$

$a+b = (3+2\sqrt{2}) + (2\sqrt{2}-2) = 1+4\sqrt{2}$

$a-b = (3+2\sqrt{2}) - (2\sqrt{2}-2) = 5$

$a^2 - b^2 = (1+4\sqrt{2}) \times 5 = 5+20\sqrt{2}$

(3) 不等式 $p < x < p+4b$ を満たす整数 $x$ が3個あり、その和が0となるような $p$ の範囲を求める。

$b = 2\sqrt{2} - 2$ より、$4b = 8\sqrt{2} - 8$

不等式は $p < x < p+8\sqrt{2}-8$ となる。

$8\sqrt{2} \approx 8 \times 1.414 = 11.312$ であるから、$8\sqrt{2} - 8 \approx 3.312$

不等式を満たす整数 $x$ が3個で、その和が0ということは、その3つの整数は $-1, 0, 1$ である。

したがって、$p < -1$ かつ $1 < p + 4b$ となる。また、$p+4b < 2$ となる必要がある。

$p < x < p + 8\sqrt{2} - 8$

$-1, 0, 1$ が含まれるから、$-2$は含まれてはならない。また、$2$も含まれてはならない。

$p < -1$ かつ $1 < p + 8\sqrt{2} - 8 < 2$

$1 < p + 8\sqrt{2} - 8 < 2$ を変形すると、

$9 - 8\sqrt{2} < p < 10 - 8\sqrt{2}$

$9 - 8\sqrt{2} < p < -1$ を満たす必要がある。

$9 - 8\sqrt{2} = 9 - 8(1.414) = 9 - 11.312 = -2.312$

$-2.312 < p < -1$

3. 最終的な答え

(1) $a = 3 + 2\sqrt{2}$

(2) $b = 2\sqrt{2} - 2$, $a^2 - b^2 = 5 + 20\sqrt{2}$

(3) $-2.312 < p < -1$ (厳密には$9-8\sqrt{2} < p \le -1$)