この問題は、与えられた連立方程式を掃き出し法を用いて解くものです。問題は2つあります。 (1) $2x + y = 0$ $5x - 2y = 3$ $4x - y = 1$ (2) $3x + 2y + 4z = 7$ $x + 2y = 5$ $2x + y + 5z = 8$

1. 問題の内容

この問題は、与えられた連立方程式を掃き出し法を用いて解くものです。問題は2つあります。

(1)

$2x + y = 0$

$5x - 2y = 3$

$4x - y = 1$

(2)

$3x + 2y + 4z = 7$

$x + 2y = 5$

$2x + y + 5z = 8$

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた連立方程式を行列で表現します。

$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & -2 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

次に、拡大係数行列を作成します。

$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 5 & -2 & 3 \\ 4 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

掃き出し法を用いて、行列を簡約化します。

1行目を1/2倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & 1/2 & 0 \\ 5 & -2 & 3 \\ 4 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

2行目から1行目の5倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1/2 & 0 \\ 0 & -9/2 & 3 \\ 4 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

3行目から1行目の4倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1/2 & 0 \\ 0 & -9/2 & 3 \\ 0 & -3 & 1 \end{pmatrix}$

2行目を-2/9倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & 1/2 & 0 \\ 0 & 1 & -2/3 \\ 0 & -3 & 1 \end{pmatrix}$

3行目に2行目の3倍を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1/2 & 0 \\ 0 & 1 & -2/3 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

3行目を-1倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & 1/2 & 0 \\ 0 & 1 & -2/3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3行目に0=1という矛盾が生じるので、解なし。

(2)

与えられた連立方程式を行列で表現します。

$\begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}$

次に、拡大係数行列を作成します。

$\begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 & 7 \\ 1 & 2 & 0 & 5 \\ 2 & 1 & 5 & 8 \end{pmatrix}$

1行目と2行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 5 \\ 3 & 2 & 4 & 7 \\ 2 & 1 & 5 & 8 \end{pmatrix}$

2行目から1行目の3倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 5 \\ 0 & -4 & 4 & -8 \\ 2 & 1 & 5 & 8 \end{pmatrix}$

3行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 5 \\ 0 & -4 & 4 & -8 \\ 0 & -3 & 5 & -2 \end{pmatrix}$

2行目を-1/4倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -3 & 5 & -2 \end{pmatrix}$

3行目に2行目の3倍を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \end{pmatrix}$

3行目を1/2倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

2行目に3行目を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

1行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) 解なし

(2) $x = -3$, $y = 4$, $z = 2$